Cómo mostrar que para cualquier número real positivo [matemática] x, y [/ matemática] tal que [matemática] x + y = 1 [/ matemática], tenemos [matemática] \ left (1+ \ frac {1} { x} \ right) \ left (1+ \ frac {1} {y} \ right) \ geq 9 [/ math]

Answer 1

Bueno, si [matemática] x + y = 1 [/ matemática] tienes

[matemática] \ left (\ frac {1} {x} +1 \ right) \ left (\ frac {1} {y} +1 \ right) = [/ math] [matemática] 1 + \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {xy} [/ math]

Luego, usando AM> = GM obtienes

[matemáticas] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} \ geq \ frac {2} {\ sqrt {xy}} [/ matemáticas]

Ahora considere [matemáticas] xy [/ matemáticas] para [matemáticas] x + y = 1 [/ matemáticas]. Usando GM <= AM one otra vez:

[matemáticas] \ sqrt {xy} \ leq \ frac {x + y} {2} = \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

Implica que [math] \ frac {2} {\ sqrt {xy}} \ geq 4 [/ math] y [math] \ frac {1} {xy} \ geq 4 [/ math].

Tapar esto produce:

[matemáticas] 1 + \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {xy} \ geq 4 + 4 + 1 = 9 [/ matemáticas].

¿Cómo resuelves este tipo de problemas? Bueno, no hay una receta general porque los problemas pueden ser bastante difíciles e involucrar algunos trucos no obvios.

Sin embargo, este problema no es difícil. Si conecta g [matemática] x = y = \ frac {1} {2} [/ matemática] verá que la desigualdad se convierte en igualdad. Significa que todas las desigualdades que use deben respetar este hecho (GM, HM, QM, AM hacen esto).

La prueba estándar se parece más o menos a:

expresión dada> = alguna otra expresión> = alguna otra expresión> =…> = alguna otra expresión> = lo que necesita probar.

En este ejemplo, sé cómo estimar [matemáticas] xy [/ matemáticas]. En particular, sé que [math] xy \ leq \ frac {1} {4} [/ math] para [math] x, y [/ math] dado .

Implica que tiene límites inferiores para [matemática] \ frac {1} {xy} [/ matemática], [matemática] \ frac {1} {x ^ 2y ^ 2} [/ matemática], [matemática] \ frac { 1} {\ sqrt [12] {xy}} [/ math]. Entonces uno trata de reducir este problema a los hechos conocidos .

Answer 2

Como otros han demostrado, esto se puede probar utilizando la desigualdad estándar AM-GM-HM. Para dar un enfoque diferente solo por variedad.

Para probar: [matemáticas] \ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) \ left (1 + \ frac {1} {y} \ right) \ geq 9 [/ math]

Es decir, [matemáticas] 1 + x + y + xy \ geq 9xy [/ matemáticas]

Es decir, [matemáticas] xy \ leq \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

Ahora, [matemática] \ max xy [/ matemática] sujeta a [matemática] x + y = 1 [/ matemática] y [matemática] x, y> 0 [/ matemática].

Es fácil usar el cálculo para ver que el máximo ocurre cuando [matemática] x = y = \ frac {1} {2} [/ matemática], es decir, [matemática] \ max xy = \ frac {1} {4} [/ math], que implica [math] xy \ leq \ frac {1} {4} [/ math]. Por lo tanto demostrado.

Answer 3

¡Este se puede resolver sin ningún tipo de AM, GM, HM o QM!

Multiplicando por xy, vemos que nuestra desigualdad es equivalente a:

[matemáticas] (x + 1) (y + 1) \ geq 9xy. [/ matemáticas]

Ahora, sustituyamos en la restricción dada que tenemos, [matemática] y = 1-x, [/ matemática] para obtener que nuestra desigualdad es equivalente a:

[matemáticas] (x + 1) (2-x) \ geq 9x (1-x) [/ matemáticas]
[matemáticas] -x ^ 2 + x +2 \ geq 9x – 9x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 8x ^ 2 -8x +2 \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 (2x-1) ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]

Este último es claramente cierto ya que los cuadrados son siempre no negativos. Creo que a todos se les enseña a hacer ese último tipo de factorización en la escuela secundaria, ya que solo estamos lidiando con un cuadrático, por lo que probablemente ya lo hayas visto antes.

Answer 4

Siempre puedes encontrar [math] \ theta [/ math] tal que
[matemáticas] x = cos ^ 2 (\ theta) [/ matemáticas]
[matemáticas] y = pecado ^ 2 (\ theta) [/ matemáticas]
[matemáticas] (1+ \ frac {1} {x}) (1+ \ frac {1} {y}) = (1+ \ frac {1} {cos ^ 2 (\ theta)}) (1+ \ frac {1} {sin ^ 2 (\ theta)}) [/ math]
[matemáticas] \ frac {(cos ^ 2 (\ theta) +1) (sin ^ 2 (\ theta) +1)} {sin ^ 2 (\ theta) cos ^ 2 (\ theta)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {sin ^ 2 (\ theta) cos ^ 2 (\ theta) +2} {sin ^ 2 (\ theta) cos ^ 2 (\ theta)} [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 + \ frac {2} {sin ^ 2 (\ theta) cos ^ 2 (\ theta)} [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 + \ frac {8} {4sin ^ 2 (\ theta) cos ^ 2 (\ theta)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {8} {4sin ^ 2 (\ theta) cos ^ 2 (\ theta)} = \ frac {8} {sin ^ 2 (2 \ theta)}> 8 [/ matemáticas]

Answer 5

Primero frustra y combina dos términos que obtenemos:
[matemáticas] 1 + \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {xy} = 1 + \ frac {x + y} {xy} + \ frac {1} {xy} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1 + \ frac {2} {xy} [/ matemáticas]
Ahora necesitamos estimar [matemáticas] xy [/ matemáticas], a partir de [matemáticas] x + y \ geq2 \ sqrt {xy} [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] \ sqrt {xy} \ leq \ frac {x + y } {2} = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
como resultado, [math] xy \ leq \ frac {1} {4} [/ math] y [math] \ frac {1} {xy} \ geq 4 [/ math], que completa la prueba.

Answer 6

Si sabe que x + y = 1, puede eliminar uno de estos, como x y 1-x.

[matemáticas] a = \ frac {1 + x} x \ cdot \ frac {2-x} {1-x} [/ matemáticas]

Esto da [matemática] \ frac {2 + x -x ^ 2} {xx ^ 2} = 1+ \ frac 2 {xx ^ 2} [/ matemática]

Notamos que xx ^ 2 = x (1-x), y si esto se puede escribir en la forma x = ½ + d, da 1-x = ½-d, el producto aquí es ¼-d². Esto da un valor máximo en d = 0, por lo que poner x = ½ ,, conduce directamente a a = 9 como el valor mínimo de a.

Answer 7

hacer la gráfica de y = 1-x
1) Ahora verá que, dado que necesitamos una solución positiva de la desigualdad, entonces [matemática] (1 + 1 / x) (1 + 1 / y)> = 9 [/ matemática] que también debería estar en x + y = 1

2) [math] por lo tanto [/ math] del gráfico, la solución es posible si 0 3) ahora sustituya el valor de y en la desigualdad
4) Resuelve la desigualdad y obtendrás (2x-1) ^ 2> = 0

Esta es una identidad que significa que será posible para todos los valores de x.

será = 0 en x = 1/2, que es una solución.

Entonces, desde el paso 4 podemos decir que habrá una solución para todos los valores de x, excepto para x = 0 yx = 1

Answer 8

Lo explicaré con la ayuda de un programa y una ilustración.

Ha habido pruebas matemáticas en la otra publicación. Aquí hago la demostración sustituyendo un conjunto de valores por x e y.

A continuación hay un código de Python donde sustituyo diferentes valores por x e y

Aquí la variable z almacena el resultado del cálculo y se traza como se muestra a continuación

Aquí observamos que el valor mínimo de la función aparece en 9. Y esto explica por qué (1 + 1 / x) (1 + 1 / y) ≥9.

Answer 9

Paso 1.

Use AM> = GM-

(x + y) / 2> = (xy) ^ 0.5

Esto da,

1/2> = (xy) ^ 0.5

Esto da,

(xy) = <1/4 ———————– (1)

Paso 2.

Simplifica el LHS-

= 1 + 1 / y + 1 / x + 1 / xy = 1 + (x + y) / xy + 1 / xy

= 1 + 2 / xy ———————– (2)

Paso 3.

Utilice la información derivada en (1) en la evaluación del resultado obtenido en (2) –

=> 1 / xy> = 4

=> 1 + 2 / xy> = 9 ………………… .QED