¿Cómo se evalúa [math] \ sum_ {n = k} ^ {\ infty} (an + b) \ binom {n} {k} p ^ n [/ math]?

Answer 1

Ok, antes que nada, esta serie no siempre convergerá. Para determinar cuándo lo hará, puede usar la prueba de relación (Prueba de relación) para ver que solo lo hará cuando [math] | p | <1 [/ math].
El truco es dividir la solución en dos partes:
[matemáticas] a \ sum_ {n = k} ^ {\ infty} {n \ binom {n} {k} p ^ {n}} + b \ sum_ {n = k} ^ {\ infty} {\ binom { n} {k} p ^ {n}} [/ matemáticas].
El segundo término se puede resolver para mantener:
[matemáticas] b \ frac {(1-p) ^ {- k} p ^ {k}} {1-p} [/ matemáticas]
El primer término es fácil de encontrar al darse cuenta de que es la misma expresión que acabamos de calcular, pero derivada con respecto a [math] p [/ math] y multiplicada por [math] p [/ math]. Tenga en cuenta que puede traer una multiplicación con un factor constante y una derivada con respecto a una variable que no se suma fuera de la suma. Si, por lo tanto, deriva la solución del segundo término con respecto a [matemáticas] p [/ matemáticas] y multiplica por [matemáticas] p [/ matemáticas], obtendrá el primer término en la ecuación:
[matemáticas] a \ frac {(1-p) ^ {- k} p ^ {k} (p + k)} {(1-p) ^ {2}} [/ matemáticas]
Por lo tanto, la solución completa a su problema sería:
[matemáticas] \ frac {(1-p) ^ {- k} p ^ {k}} {(1-p) ^ {2}} (a (k + p) + b (1-p)) [/ matemáticas]