¿Cuál es el valor mínimo de [math] a> 0 [/ math] para el cual [math] \ int _ {0} ^ {a} \ left \ lfloor {\ tan ^ {- 1} \ sqrt {x}} \ right \ rfloor dx = \ int _ {0} ^ {a} \ left \ lfloor {\ cot ^ {- 1} \ sqrt {x}} \ right \ rfloor dx [/ math]?

Mire las gráficas de [math] \ tan ^ {- 1} {x} [/ math] y [math] \ cot ^ {- 1} {x} [/ math].

Fuente del gráfico: dibujar gráficos de funciones

Con [math] \ displaystyle I_1 = \ int _ {0} ^ {a} \ left \ lfloor {\ tan ^ {- 1} \ sqrt {x}} \ right \ rfloor dx [/ math], para [math] 0 \ leq a \ leq \ tan {1} [/ matemática], [matemática] I_1 = 0 [/ matemática]. Para [matemáticas] a> \ tan {1} [/ matemáticas], [matemáticas] I_1 = a – \ tan {1} [/ matemáticas].

Para [matemáticas] \ displaystyle I_2 = \ int _ {0} ^ {a} \ left \ lfloor {\ cot ^ {- 1} \ sqrt {x}} \ right \ rfloor dx [/ math], se puede ver que para [math] 0 \ leq a \ leq \ cot {1} [/ math], [math] I_2 = a [/ math]. Para [matemáticas] a> \ cot {1} [/ matemáticas], [matemáticas] I_2 = \ cot {1} [/ matemáticas].

Con [math] \ cot {1} <\ tan {1} [/ math], simplemente necesitamos resolver la siguiente ecuación para [math] a [/ math]:

[matemáticas] a – \ tan {1} = \ cot {1} [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemáticas] a = \ cot {1} + \ tan {1} \ aprox 2.20 [/ matemáticas]

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