Si [math] abc = 1 [/ math] y [math] a + b + c = \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} [/ math ], ¿cómo puedo mostrar que [matemáticas] a [/ matemáticas] o [matemáticas] b [/ matemáticas] o [matemáticas] c [/ matemáticas] es igual a 1?

Como [math] abc = 1 [/ math],
[matemáticas] a + b + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 / a + 1 / b + 1 / c [/ matemáticas]

[matemáticas] = (ab + bc + ac) / abc [/ matemáticas]

[matemáticas] = ab + bc + ac [/ matemáticas]

Ahora, pruebe que [matemáticas] (a – 1) (b – 1) (c – 1) [/ matemáticas] es igual a cero, es decir
[matemáticas] (a – 1) (b – 1) (c – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a – 1) (bc – b – c + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (abc – ab – ac + a – bc + b + c – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (abc – 1 + a + b + c – ab – bc – ac) = 0 [/ matemáticas]

Esto puede suceder si y solo si alguno de los tres [matemática] (a – 1) [/ matemática], [matemática] (b – 1) [/ matemática] o [matemática] (c – 1) [/ matemática] es cero, lo que significa que [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] o [matemática] c [/ matemática] es igual a 1.

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Denote [matemática] d = a + b + c [/ matemática].

Entonces, según las fórmulas de Vieta, esta ecuación tiene la forma [matemática] x ^ 3 – dx ^ 2 + ex-1 = 0 [/ matemática]

Al reemplazar [matemática] x [/ matemática] por [matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática], verá que [matemática] \ frac {1} {a}, \ frac {1} {b}, \ frac {1} {c} [/ math] son ​​las raíces de la ecuación [math] x ^ 3 – ex ^ 2 + dx-1 = 0 [/ math].

Como [math] a + b + c = \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} [/ math], concluimos usando las fórmulas de Vieta que [math] e = d [/ matemáticas].

Por lo tanto, esta ecuación tiene la forma [matemática] x ^ 3 – dx ^ 2 + dx-1 = 0 [/ matemática].
Al conectar [math] x = 1 [/ math] verá que es una raíz.

Por lo tanto, al menos uno de [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] debe ser 1.

Shambhu Bhat

Si [math] abc = 1 [/ math] entonces [math] \ frac {1} {a} = bc [/ math], entonces podemos reescribir esa segunda ecuación:

[matemáticas] \ frac {1} {bc} + b + c = bc + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} [/ matemáticas]

y multiplicando ambos lados por [math] bc [/ math] obtenemos este desorden de una ecuación polinómica:

[matemáticas] 1 + b ^ 2c + bc ^ 2 = b ^ 2c ^ 2 + c + b [/ matemáticas]
[matemáticas] b ^ 2c ^ 2 – b ^ 2c – bc ^ 2 + b + c – 1 = 0 [/ matemáticas]

Entonces, ¿podemos factorizar esto de alguna manera? Bueno, en este punto es hora de hacer trampa. Sería muy conveniente si [math] b-1 [/ math] fuera un factor, así que veamos si eso funciona:

[matemáticas] b ^ 2c ^ 2 – b ^ 2c – bc ^ 2 + b + c – 1 = [/ matemáticas]
[matemáticas] b (bc ^ 2 – bc + 1) – 1 (bc ^ 2 – c + 1) = [/ matemáticas]
[matemáticas] b (bc ^ 2 – bc + 1) – bc – 1 (bc ^ 2 – c + 1) + bc = [/ math]
[matemáticas] b (bc ^ 2 – bc -c + 1) -1 (bc ^ 2-bc-c + 1) = [/ matemáticas]
[matemáticas] (b-1) (bc ^ 2-bc-c + 1) [/ matemáticas]

Y, de hecho, podemos factorizar más para

[matemáticas] (b-1) (c-1) (bc-1) = 0 [/ matemáticas]

Entonces, debe ser el caso de que [matemática] b = 1 [/ matemática], o [matemática] c = 1 [/ matemática], o [matemática] bc = 1 [/ matemática] lo que implica que [matemática] a = 1 [/ matemáticas].

Shambhu Bhat

[matemáticas] \ displaystyle a + b + c = \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} \ tag * {} [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ implica a + b + c = \ frac {cb + ac + ab} {abc} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica a + b + c = \ frac {cb + ac + ab} {1} \ tag * {} [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ implica a + b + c = cb + ac + ab \ tag * {} [/ math]

[math] \ displaystyle \ implica a + b + c – cb -ac – ab = 0 \ tag {1} [/ math]

ahora, tenga en cuenta que:

[matemáticas] \ displaystyle (a-1) (b-1) (c-1) = abc + a + b + c – cb-ac – ab – 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica (a-1) (b-1) (c-1) = 1 + a + b + c -cb – ac – ab – 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica (a-1) (b-1) (c-1) = a + b + c – cb-ac -ab \ tag {2} [/ matemáticas]

y ahora, conectando [math] (2) [/ math] en [math] (1) [/ math] para obtener:

[matemáticas] \ displaystyle (a-1) (b-1) (c-1) = 0 \ tag {3} [/ matemáticas]

también tenga en cuenta que los únicos valores que pueden resolver [matemáticas] (3) [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] a = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] c = 1 [/ matemáticas]. QED

Jonas Grandt

Calcule la expresión [matemáticas] P: = (a-1) (b-1) (c-1) [/ matemáticas] con las condiciones [matemáticas] abc = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] a + b + c = \ dfrac 1 a + \ dfrac 1 b + \ dfrac 1 c [/ math]:

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} (a-1) (b-1) (c-1) & = & abc + a + b + c- (ab + bc + ac) -1 \\ & = & a + b + c- (ab + bc + ac) \\ & = & a + b + c- \ left (\ dfrac 1 c + \ dfrac 1 a + \ dfrac 1 b \ right) \\ & = & 0 \ end { eqnarray *} [/ math]

La expresión [matemáticas] P [/ matemáticas] es cero, por lo que uno de sus factores tiene que ser cero. En otras palabras, al menos uno de [matemática] a, b [/ matemática] o [matemática] c [/ matemática] tiene que ser [matemática] 1 [/ matemática].

Jonas Grandt

Siguiendo los pasos de Mark Gritter, ponga a = 1 / bc para obtener

[matemáticas] \ frac {1} {bc} + b + c = bc + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} [/ matemáticas] Reajuste

[matemáticas] bc- \ frac {1} {bc} = b + c- \ frac {b + c} {bc} [/ matemáticas]

Multiplicar por bc y agrupar

(bc-1) (bc + 1) = (b + c) (bc-1)

O bc = 1 (en cuyo caso a se convierte en 1) o

bc + 1 = b + c que se puede traer en la forma

(b-1) (c-1) = 0

B = 1 o c = 1

Shambhu Bhat

La única forma de que A * B * C = 1 sea verdadera sin A = 1 B = 1 y C = 1 es si A, B o C es menor que uno.

Sin embargo, si este fuera el caso, entonces A + B + C = (1 / A) + (1 / B) + (1 / C) sería falso.

Por lo tanto, la única forma para ABC = 1 y A + B + C = (1 / A) + (1 / B) + (1 / C) es si A = 1, B = 1 y C = 1.

Pero podría no haber usado la fórmula correcta, no estoy en Advanced Algebra 2 en este momento.

Jonas Grandt

Enchufe a = 1. Entonces te queda b + c = 1 / b + 1 / c. Eso significa b = 1 / c. Entonces abc = ab / b = a = 1 por definición. Lo mismo es cierto si b o c = 1, solo tiene que cambiar las variables.

Shambhu Bhat

Simplemente muestre (a – 1) (b – 1) (c – 1) igual a cero expandiendo la expresión 🙂

Vinay Emani

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