¿Cómo podemos demostrar que un sistema de ecuaciones tiene una solución?

Answer 1

Un sistema de ecuaciones lineales puede caer en una de tres categorías.

Sobredeterminado
Esto es cuando hay más ecuaciones que variables. Suponiendo que tiene m variables y n ecuaciones, solo habrá una solución si algunas ecuaciones nm dependen linealmente de las otras m ecuaciones del sistema. El ejemplo que tienes cae en esta categoría. Una forma de probar si existe una solución es eliminar las ecuaciones linealmente dependientes y tomar el determinante del sistema restante. Si el determinante no es cero de este sistema reducido, existe una solución.

Por ejemplo
3x = 0
x = 1
Este sistema no tiene solución.

Mientras
3x = 0
x = 0
tiene una solución única

Subdeterminado
Esto es cuando tienes más variables que ecuaciones. En este caso, puede haber muchas soluciones que satisfagan el sistema.

Bien determinado
Esto es cuando tienes el mismo número de variables y ecuaciones. Solo habrá una solución si todas las ecuaciones son linealmente independientes. Puede haber, como máximo, una sola solución.

Answer 2

Bueno, simplemente puede resolver el sistema utilizando técnicas estándar de reducción de filas. Se encontrarán cero, una o infinitas soluciones.

Answer 3

Tienes que resolver 4 ecuaciones lineales simultáneas. El método habitual de eliminación funciona rápidamente no solo para decirle si hay una solución, sino también para encontrar las soluciones al mismo tiempo.

Si tiene el mismo número de ecuaciones que las variables, el determinante de la matriz de coeficientes le dirá algo. Si no es cero, le dice que hay una solución única. Desafortunadamente, si es cero, aún no sabrá si no hay una solución o si hay una solución (en cuyo caso habrá infinitas). Además, una de las mejores formas de encontrar determinantes implica las mismas operaciones que la reducción de filas, por lo que también podría usar la reducción de filas en primer lugar.

Answer 4

Este sistema de ecuaciones tiene 4 ecuaciones pero 3 variables. Para que este sistema sea soluble, una de las ecuaciones debe ser una combinación lineal de las otras tres.

Puede verificar si eso es cierto haciendo una reducción de filas en una matriz 4 × 4 hecha de los coeficientes de las cuatro ecuaciones.

Answer 5

Bueno, estoy seguro de que hay una forma más general de hacer esto, pero esto es lo que me viene a la mente cuando considero el ejemplo. Primero, tienes 3 variables y 4 ecuaciones. Recuerdo que los sistemas sobredeterminados no tienen solución si hay más ecuaciones linealmente independientes que variables. Por lo tanto, verificaría y vería si todas las ecuaciones son linealmente independientes e irían desde allí.

Answer 6

La primera, segunda y cuarta ecuaciones son un conjunto homogéneo de 3 ecuaciones en tres incógnitas con un determinante distinto de cero. La única solución para estas tres ecuaciones es x = y = z = 0. Eso haría que la tercera ecuación diga 0 = 1 – no es un resultado aceptable.

En los sistemas polinomiales de orden superior, existen métodos de “ideales de eliminación” que permiten un enfoque sistemático para encontrar soluciones.

Su pregunta es importante y ha recibido mucha atención matemática. Puedes buscar el teorema de Bézout. Puede buscar las buenas propiedades del cálculo base de Gröbner.

Answer 7

Ax = b, si r (A | b) = r (A), entonces las soluciones existen. Además, si r (A | b) = r (A) = n, solo existe una solución. De lo contrario (r (A | b) = r (A)

Answer 8

Primero forme la matriz aumentada de las ecuaciones dadas (matriz que consiste en los coeficientes de las variables y los términos constantes como elementos de sus filas). Ahora reduzca la matriz a la forma escalonada reducida en filas.
Caso 1: Ahora, si encuentra que la fila más inferior tiene todos sus elementos 0s, las ecuaciones tendrán soluciones infinitas.
Caso 2: Si la fila más inferior tiene todos sus elementos 0, excepto el último, es decir, el elemento de términos constantes no es cero, entonces las ecuaciones no tienen solución.
Caso 3: De lo contrario, en todos los demás casos, que yo sepa, las ecuaciones tendrán una solución.