Cómo simplificar [matemáticas] \ frac {-6x ^ {4} -4x ^ {2} +2} {(x ^ {2} +1) ^ {4}} [/ matemáticas] a [matemáticas] \ frac { 2-6x ^ {2}} {(x ^ {2} +1) ^ {3}} [/ matemáticas]

Digamos que no sabemos la respuesta. Tiene dos cosas que hacer para reducir las fracciones racionales de [matemáticas] X [/ matemáticas]: primero, asegúrese de que el numerador y el denominador no tengan factores comunes. Entonces, si el grado del numerador aún excede o es igual al grado del denominador, con [math] F = \ dfrac {P} {Q} [/ math] haz la división euclidiana de [math] P [/ math ] por [matemática] Q [/ matemática]: [matemática] P = EQ + R [/ matemática], con [matemática] \ deg (R) <\ deg (P) [/ matemática]. Entonces solo obtienes [math] F = E + \ dfrac {R} {Q} [/ math], y [math] E [/ math] se llama la parte completa de [math] F [/ math].

Aquí, [matemáticas] F = -2 \ dfrac {3X ^ 4 + 2X ^ 2-1} {(X ^ 2 + 1) ^ 4} [/ matemáticas]. Necesitamos verificar factores comunes. Llamemos a [matemática] P = 3X ^ 4 + 2X ^ 2-1 [/ matemática] y [matemática] Q = (X ^ 2 + 1) ^ 4 [/ matemática]. Si [matemática] P [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática] tienen un factor común, debe ser [matemática] X ^ 2 + 1 [/ matemática] o [matemática] (X ^ 2 + 1) ^ 2 [/ math] y nada más, porque [math] X ^ 2 + 1 [/ math] es irreducible en el campo en el que estamos, a saber [math] \ mathbb {R} [/ math]. Entonces, hagamos una división euclidiana de [matemática] P [/ matemática] por [matemática] Q_1 = X ^ 2 + 1 [/ matemática].

[matemática] P = 3X ^ 4 + 2X ^ 2-1 [/ matemática], necesitamos multiplicar [matemática] Q_1 [/ matemática] por [matemática] 3X ^ 2 [/ matemática] para que coincida con el primer término de [matemática ] P [/ matemática]: [matemática] 3X ^ 2Q_1 = 3X ^ 4 + 3X ^ 2 [/ matemática], necesitamos restar [matemática] X ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] a coincidir [matemática] P [/ matemática], entonces tenemos [matemática] P = (3X ^ 2) Q_1 + (- X ^ 2-1) [/ matemática]. Supongamos que no hemos visto que podemos factorizar esto, y continuar con la división euclidiana. Dividamos [matemáticas] Q_1 [/ matemáticas] por [matemáticas] -X ^ 2-1 [/ matemáticas]. [matemática] Q_1 = – (- X ^ 2-1) +0 [/ matemática], entonces [matemática] -X ^ 2-1 [/ matemática] divide [matemática] Q_1 [/ matemática]. Entonces volvemos a [matemáticas] P [/ matemáticas] y tenemos [matemáticas] P = 3X ^ 2Q_1-Q_1 = (3X ^ 2-1) Q_1 [/ matemáticas].

Eso produce [matemáticas] F = -2 \ dfrac {P} {Q} = -2 \ dfrac {(3X ^ 2-1) (X ^ 2 + 1)} {(X ^ 2 + 1) ^ 4} = -2 \ dfrac {3X ^ 2-1} {(X ^ 2 + 1) ^ 3} [/ matemáticas]. El grado del numerador es estrictamente más bajo que el grado del denominador, por lo que no podemos ir más allá. La respuesta final es entonces [matemáticas] F = \ dfrac {-6X ^ 2 + 2} {(X ^ 2 + 1) ^ 3} [/ matemáticas], como usted señaló.

Pero luego podría reducir aún más el numerador dividiendo la fracción. Simplemente diga que [matemáticas] -6X ^ 2 + 2 = -6 (X ^ 2 + 1) +8 [/ matemáticas], luego [matemáticas] F = \ dfrac {-6} {(X ^ 2 + 1) ^ 2} + \ dfrac {8} {(X ^ 2 + 1) ^ 3} [/ matemáticas]

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Bueno, si sabes la respuesta, debes conocer el algoritmo para llegar a esa respuesta. Haz tu tarea por tu propio bien.

¿Cómo llegas a esa respuesta? Simplemente reduzca (divida) el nominador (polinomio) con un término del denominador … o factorice el nominador y luego reduzca la fracción.
[matemáticas] \ frac {-6x ^ 4-4x ^ 2 + 2} {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

Peter Bočan

Bueno, no es difícil, primero, debe usar el método de factorización para convertir (-6x ^ 4 – 4x ^ 2 + 2) en (-3x ^ 2 + 1) (2x ^ 2 + 2), luego reduce el resultado a deshazte de a (x ^ 2 + 1) y obtendrás la respuesta correcta.

Nicolas Douma

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