¿Qué es una raíz cuadrada discreta?

Answer 1

Gracias por A2A. No creo que “una raíz cuadrada discreta” sea una terminología estándar, por lo que su significado exacto debería obtenerse del contexto.

De todos modos, discreto no es la elección adecuada de palabras y medios en este contexto finito (de manera similar al logaritmo discreto).

Este término puede referirse teóricamente a una solución de la ecuación [matemáticas] x ^ 2 = a [/ matemáticas] en un semi-grupo arbitrario finito .

Por ejemplo, para los residuos [math] \ mod n [/ math] (una multiplicación de wrt monoide abeliano) significa tal [math] x [/ math] que

[matemáticas] x ^ 2 = a \ mod n. [/ matemáticas]

Bueno, si uno se restringe a las unidades (es decir, elementos invertibles) de [math] a \ in \ left (\ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z} \ right) ^ {\ times} [/ math] entonces [math] ] x \ in \ left (\ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z} \ right) ^ {\ times} [/ math] también.

Hay una descripción fácil para el contexto más restrictivo en el que se puede hablar sobre raíces cuadradas discretas: [matemáticas] n = p [/ matemáticas] es primo.
Las unidades de [math] \ left (\ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \ right) ^ {\ times} [/ math] son ​​[math] \ left (\ mathbf {Z} / p \ mathbf { Z} \ right) \ setminus \ {0 \}. [/ Math]

Tenga en cuenta que al ser un grupo multiplicativo de un campo finito [math] \ left (\ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \ right) ^ {\ times} [/ math] es un grupo cíclico de orden [math] p -1. [/ Math] En particular, contiene [math] x ^ {p-1} = 1 [/ math] para un arbitrario [math] x \ in \ left (\ mathbf {Z} / p \ mathbf { Z} \ right) ^ {\ times} [/ math].
Además, exactamente la mitad de los elementos de [math] a \ in \ left (\ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \ right) ^ {\ times} [/ math] son ​​residuos cuadráticos [math] \ mod p [ / math], es decir, hay [math] x \ in \ left (\ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \ right) ^ {\ times} [/ math] tal que [math] x ^ 2 = a \ mod p [/ math].
Por lo tanto, se puede sacar la raíz cuadrada exactamente de la mitad de los elementos de [math] \ left (\ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \ right) ^ {\ times}. [/ Math]
Esos son precisamente elementos que satisfacen la ecuación [matemática] a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv 1 \ mod p. [/ Matemática] (La otra mitad satisface la ecuación [matemática] a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv -1 \ mod p [/ math] ya que [math] \ left (a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ right) ^ 2 \ equiv 1 \ mod p [/ math]).

La notación clásica para [math] a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ mod p [/ math] es [math] \ left (\ dfrac {a} {p} \ right) [/ math] , vea el símbolo de Legendre.

La reciprocidad cuadrática relaciona los símbolos de Legendre para diferentes números primos.

Answer 2

Considere el campo finito [math] \ textbf {F} _7 [/ math]. Ahora enumera los cuadrados de sus elementos:

• [matemáticas] 1 ^ 2 \ equiv 1; [/ matemáticas]
• [matemáticas] 2 ^ 2 \ equiv 4; [/ matemáticas]
• [matemáticas] 3 ^ 2 \ equiv 2; [/ matemáticas]
• [matemáticas] 4 ^ 2 \ equiv 2; [/ matemáticas]
• [matemáticas] 5 ^ 2 \ equiv 4; [/ matemáticas]
• [matemáticas] 6 ^ 2 \ equiv 1. [/ matemáticas]

Es evidente que la operación [math] x \ rightarrow x ^ 2 [/ math] envía [math] \ textbf {F} ^ {\ times} _7 \ rightarrow \ {1, 2, 4 \} \ simeq \ textbf { F} ^ {\ times} _7 / \ {1, 6 \}. [/ Math] No es inyectiva porque [math] x ^ 2 \ equiv (-x) ^ 2 \ equiv (6x) ^ 2 [/ math ] Entonces dibujamos un paralelo interesante entre los números reales (o complejos) y los campos finitos: la cuadratura no es inyectiva.

Sin embargo, no nos detendremos allí. Definiremos la raíz cuadrada principal para que envíe [math] \ textbf {F} _7 [/ math] a los elementos que son menores que 4 (de modo que 4, 5 y 6 se identifiquen con “-1”, “-2” y “-3”). Ahora tenemos un análogo de la raíz cuadrada sobre el campo finito de 7 elementos:

• [matemáticas] 1 ^ \ frac {1} {2} \ equiv 1; [/ matemáticas]
• [matemáticas] 2 ^ \ frac {1} {2} \ equiv 3 \ equiv -4; [/ matemáticas]
• [matemáticas] 4 ^ \ frac {1} {2} \ equiv 2. [/ matemáticas]

Puede notar que me salteé 3. De hecho, 3 no tiene raíz cuadrada en [math] \ textbf {F} _7 [/ math] –en este caso se llama un no cuadrático no residual (que es un jabber matemático elegante para no cuadrado) elementos en los campos finitos).

Podemos ir aún más lejos al adjuntar un elemento “imaginario” a [math] \ textbf {F} _7 [/ math]. Vamos a plantear la existencia de un número [matemático] j: j ^ 2 \ equiv 6 \ equiv -1 \; (\ textrm {mod} \, 7) [/ math]. (¿Suena familiar?) De esta manera, hemos extendido [math] \ textbf {F} _7 [/ math] para que los números 0-6 tengan raíces cuadradas. Por ejemplo, [matemáticas] (2j) ^ 2 \ equiv 2 ^ 2j ^ 2 \ equiv 4 (-1) \ equiv 3 [/ matemáticas]. Por lo tanto, nuestro nuevo campo contiene todos los números de la forma [math] a + bj [/ math], donde [math] a, b \ in \ textbf {F} _7 [/ math].
De manera similar a la extensión de los números reales a través de la unidad imaginaria, hemos construido [math] \ textbf {F} _ {49} [/ math].

Desafortunadamente, ningún campo finito está completo algebraicamente, siempre habrá números para los cuales no existe una raíz p-ésima de ese número para alguna p. Sin embargo, es interesante preguntar sobre las condiciones que garantizan la existencia de la raíz p-ésima de un cierto número, o alternativamente, la existencia de la raíz de un polinomio particular. Aquí hay algunos ejemplos particulares:

• [matemáticas] x ^ k-1 = 0 [/ matemáticas] tiene raíces en [matemáticas] \ textbf {F} _p [/ matemáticas] si y solo si k divide p-1 (recuerde el pequeño teorema de Fermat)
• p-3 es un residuo cuadrático (un número cuadrado) en [math] \ textbf {F} _p [/ math] si y solo si 3 divide p-1 (porque [math] e ^ \ frac {2i \ pi} { 3} = \ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2} [/ math])
• 3 es un residuo cuadrático en [math] \ textbf {F} _p [/ math] si y solo si 6 divide p-1
• 5 es un residuo cuadrático en [math] \ textbf {F} _p [/ math] si 5 divide p-1
• 17 es un residuo cuadrático en [math] \ textbf {F} _p [/ math] si 17 divide p-1

Los lemas anteriores son un resultado directo del hecho de que [math] \ textbf {F} ^ {\ times} _ {p ^ k} [/ math] es isomorfo al grupo de [math] (p ^ k-1 ) [/ matemáticas] -th raíces de la unidad. Las formas cerradas para las raíces 3ª, 5ª y 17ª de la unidad contienen raíces de -3, 5 y 17 (que a su vez son consecuencia de la constructibilidad de 3-gon, 5-gon y 17-gon).