Sea (x, d) un espacio métrico y un subconjunto y de x. supongamos que el subconjunto g de x está abierto; muestra que la intersección G Y está abierta en (Y, d). Por el contrario, demuestre que si el subconjunto G1 de Y está abierto en (Y, d), hay un subconjunto G abierto de X tal que G1 = G intersección Y?

Answer 1

Parece que has usado minúsculas algunas veces y mayúsculas otras veces; Usaré mayúsculas para los conjuntos y minúsculas para puntos individuales y la métrica de distancia. Suponga que [math] g_0 \ en G \ cap Y [/ math]. Debido a que [matemática] G [/ matemática] está abierta, esto implica que existe algo de [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] tal que si [matemática] g_1 \ en X [/ matemática] y [matemática] d (g_0, g_1) <\ epsilon [/ math], luego [math] g_1 \ en G [/ math]. Como [math] Y \ subconjunto X [/ math] se deduce que si [math] g_1 \ en Y [/ math] y [math] d (g_0, g_1) <\ epsilon [/ math], entonces [math] g_1 \ en G [/ matemáticas]. Pero si [matemática] g_1 \ en Y [/ matemática] y [matemática] g_1 \ en G [/ matemática] entonces claramente [matemática] g_1 \ en G \ cap Y [/ matemática]. Entonces, si [math] g_1 \ en Y [/ math] y [math] d (g_0, g_1) <\ epsilon [/ math], entonces [math] g_1 \ en G \ cap Y [/ math]. Esto establece que [math] G \ cap Y [/ math] está abierto en [math] (Y, d) [/ math], que es lo que se nos pidió que probáramos.

Para la segunda parte, uno comienza definiendo una función [math] \ epsilon: G_1 \ rightarrow \ R _ {> 0} [/ math] con la propiedad if if [math] g_0 \ in G_1 [/ math], [math] g_1 \ en Y [/ matemática] y [matemática] d (g_0, g_1) <\ epsilon (g_0) [/ matemática], luego [matemática] g_1 \ en G_1 [/ matemática]. Tal mapeo está garantizado por la apertura de [math] G_1 [/ math]. Entonces podemos definir [matemáticas] G = \ {g \ en X: \ existe g_0 \ en G_1: d (g, g_0) <\ epsilon (g_0) \} [/ matemáticas]. Afirmo que [math] G [/ math] luego satisface las propiedades requeridas. Si [matemática] g \ en G [/ matemática], entonces, según la definición de [matemática] G [/ matemática] hay una [matemática] g_0 \ en G_1 [/ matemática] con [matemática] d (g, g_0) 0 [/ math]. Ahora tome [math] g_1 \ en X [/ math] con [math] d (g, g_1) <\ epsilon _0 [/ math]. De ello se deduce que [matemáticas] d (g, g_1) <\ epsilon (g_0) -d (g, g_0) [/ matemáticas] o [matemáticas] d (g, g_1) + d (g, g_0) <\ epsilon ( g_0) [/ matemáticas]. Por la desigualdad del triángulo, [math] d (g_1, g_0) <\ epsilon (g_0) [/ math]. Entonces, por definición [math] g_1 \ en G [/ math] estableciendo que [math] G [/ math] está abierto en [math] X [/ math]. También necesitamos establecer [matemáticas] G_1 = G \ cap Y [/ matemáticas]. Suponga que [matemática] g_1 \ en G_1 [/ matemática]. Luego [math] g_1 \ en Y [/ math] por la definición del problema y [math] g_1 \ en G [/ math] estableciendo [math] g_0 = g_1 [/ math] en la definición de [math] G [/ matemática] para que [matemática] d (g_1, g_0) = 0 <\ epsilon (g_0) [/ matemática]. Por lo tanto, [math] G_1 \ subseteq G \ cap Y [/ math]. Luego suponga que [math] g \ en G \ cap Y [/ math]. Entonces, según la definición de [matemáticas] G [/ matemáticas], [matemáticas] \ existe g_0 \ en G_1 [/ matemáticas] con [matemáticas] d (g, g_0) <\ epsilon (g_0) [/ matemáticas]. Según nuestra definición del mapeo [math] \ epsilon [/ math], [math] g \ in G_1 [/ math] so [math] G \ cap Y \ subseteq G_1 [/ math] wherence [math] G_1 = G \ cap Y [/ math] y hemos terminado.