Cómo encontrar [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac 1 {1 + x ^ 2} \ cdot \ sqrt {\ frac {x ^ 3} {1-x}} \ dx [/ math] usando un corte de rama de 0 a 1

Answer 1

Antes de pasar a la integración de contornos, simplifiquemos nuestra integral
[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {1 + x ^ 2} \ sqrt {\ frac {x ^ 3} {1-x}} dx = \ int_0 ^ 1 \ frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} \ sqrt {\ frac {1} {x (1-x)}} dx [/ math]

Tome el corte de rama estándar a lo largo del eje real negativo para [math] \ sqrt {z} [/ math], y considere la función compleja [math] f (z) = \ frac {1} {z} \ sqrt {\ frac {1} {1 -1 / z}} [/ matemáticas].

[matemática] f [/ matemática] es analítica en todas partes excepto en el intervalo [matemática] [0,1] [/ matemática]: tiene un polo en [matemática] z = 0 [/ matemática] debido a la [matemática] 1 / z [/ math] y tenemos problemas en [math] z \ in [0,1] [/ math] ya que esto está mapeado por [math] 1 / (1-1 / z) [/ math] al eje real negativo.

Considere un contorno rectangular que rodea el intervalo [matemática] [0,1] [/ matemática], y dentro de [matemática] \ epsilon [/ matemática] de este intervalo. Las porciones verticales de la integral tienden a cero en el límite pequeño [matemático] \ épsilon [/ matemático], y para las porciones horizontales, tenemos el comportamiento limitante (y tiende a cero desde la mitad del plano superior y la mitad del plano inferior) :

[matemáticas] f (x + iy) = \ pm \ frac {1} {ix \ sqrt {1-1 / x}} [/ matemáticas]

Entonces,
[matemáticas] \ int_ \ gamma \ frac {z ^ 2} {1 + z ^ 2} f (z) dz \ rightarrow 2i \ int_0 ^ 1 \ frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} \ sqrt { \ frac {1} {x (1-x)}} dx [/ math]

Tenga en cuenta que [math] \ frac {z ^ 2} {1 + z ^ 2} [/ math] tiene polos en [math] \ pm i [/ math], que están fuera de nuestro contorno de interés.

¿Cómo nos ayuda todo esto? Bueno, hemos contenido nuestro intervalo problemático [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas] dentro de un contorno conveniente. Entonces, invirtamos el problema.

[matemáticas] \ int_ \ gamma \ frac {z ^ 2} {1 + z ^ 2} f (z) dz = – \ int _ {\ gamma ‘} \ frac {1} {z ^ 2 + 1} f (1 / z) dz / z ^ 2 [/ matemáticas]
(Disculpas por usar la misma variable ficticia, solo estoy sustituyendo [math] u = 1 / z [/ math])
[math] = \ int _ {\ gamma ‘} \ frac {1} {z (z ^ 2 + 1)} \ frac {1} {\ sqrt {1-z}} dz [/ math]

Nuestro contorno contiene los polos simples en [math] z = \ pm i [/ math], incluye el polo simple en [math] z = 0 [/ math] y, afortunadamente, excluye [math] z = 1 [/ math ]

En [matemáticas] z = 0 [/ matemáticas], tenemos un residuo de 1.
En [matemáticas] z = + i [/ matemáticas], tenemos un residuo de [matemáticas] \ frac {1} {i} \ frac {1} {2i} \ frac {1} {\ sqrt {1-i} } = – \ frac {1} {2} \ frac {1} {\ sqrt {1-i}} [/ math]
En [math] z = -i [/ math], tenemos un residuo de [math] – \ frac {1} {2} \ frac {1} {\ sqrt {1 + i}} [/ math]

La fórmula de Cauchy nos dice, entonces, que nuestra integral original es igual a:
[matemáticas] \ pi \ left (1 – \ frac {1} {2} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {1-i}} + \ frac {1} {\ sqrt {1 + i}} \ right) \ right) [/ math]

Al conectar esto a Wolfram, obtenemos una respuesta numérica de ~ 0.7009.