Cómo resolver este problema verbal de rendimiento máximo de cultivos paso a paso

El primer paso es resolver la ecuación. ¿Qué tal una ecuación para calcular cuánto cuesta cada árbol adicional? Sabemos que cada árbol de más de cincuenta nos costará, así que obtenemos esta ecuación.

t-50 = x

Dónde:
x = el número de árboles adicionales por acre
t = el número de árboles por acre.

Entonces, tenemos esta ecuación, pero no sabemos cuánto costarán los árboles. Afortunadamente, eso es bastante simple. Necesitamos multiplicar la cantidad de árboles adicionales por cinco para calcular la cantidad de naranjas que perdemos por árbol.

5 (t-50) = c

Dónde:
c = el número de naranjas perdidas por árbol

Entonces, sabemos cuánto disminuye nuestra producción de naranjas por árbol por árboles adicionales. Pero para calcular cuánto produce cada naranjo, debe restar nuestra segunda ecuación de la producción “base”, que en este caso es trescientos.

300-5 (t-50) = p

Dónde:
p = el número de naranjas producidas por árbol.

Ahora, hay un problema con esta ecuación: si tenemos cuarenta y nueve árboles, en realidad ganaremos cinco naranjas por árbol. Sin embargo, esto no importa: sabemos que si tenemos menos de cincuenta árboles, todavía tendremos la misma producción por árbol, por lo que se deduce que cualquier cosa menos de cincuenta naranjos sería claramente subóptimo. Escribamos una desigualdad para recordarnos.

t50

Mientras hablamos del tema, vale la pena señalar que t es un número entero: no se puede tener la mitad de un naranjo.

Entonces, volviendo a nuestras ecuaciones, tenemos la ecuación 300-5 (t-50) = p , pero necesitamos calcular la producción total de naranja. Bueno, tenemos nuestra producción por árbol, por lo que para encontrar nuestra producción por acre, solo necesitamos multiplicar la producción por árbol por el número total de árboles.

t (300-5 (t-50) = y

Dónde:
y = producción total de naranja por acre

Tenemos nuestra fórmula para elaborar la producción de naranja. Ahora deberíamos multiplicar los corchetes y ver qué obtenemos.

t (300-5t + 250) = y
t (550-5t) = y
550t-5t² = y

Tenemos esta ecuación Es claramente un cuadrático. Para facilitar las cosas, saquemos los cinco. Lo que deberíamos intentar hacer es completar el cuadrado. Eso nos permitirá determinar qué valor de t nos dará el valor máximo de y. Para facilitar las cosas, deberíamos intentar sacar el coeficiente de si podemos factorizando. Si no podemos, tendremos que dividir la ecuación por el coeficiente. Por suerte, eso no es necesario.

-5 (t²-110t) = y

Ahora solo necesitamos completar el cuadrado.

-5 ((t-55) ²-3025) = y

Entonces, tenemos esto, pero ¿cómo nos ayuda eso? Bueno, al completar el cuadrado, tenemos un término muy útil (t-55) ² . El resto de la ecuación se reduce a un poco de suma. Como te darás cuenta, el valor mínimo que puede tener este término es cero: si cuadras cualquier número, la respuesta nunca puede ser negativa (esto no es cierto cuando se trata de números imaginarios, pero no debemos preocuparnos por eso) . Entonces, ¿qué valor de t resultará en que (t-55) ² sea ​​cero? Bueno, necesitamos que (t-55) sea ​​cero para que (t-55) ² sea ​​cero, por lo que obtenemos una respuesta de t = 55. En caso de que se pregunte por qué queremos minimizar nuestro término (t-55) ², debe recordar que ese término se multiplica por menos cinco. Si lo sacamos de los corchetes, podemos ver claramente por qué queremos minimizar este término.

-5 ((t-55) ²-3025) = y
-5 (t-55) ²-5 (-3025) = y
15125-5 (t-55) ² = y

Como puede ver, estamos restando nuestro término (t-55) ² de 15125 para encontrar nuestro rendimiento máximo de cosecha. De hecho, estamos restando cinco veces nuestro término (t-55) ² de 15125 para encontrar nuestro rendimiento máximo de cosecha. Como puede ver, si tenemos nuestro término (t-55) ² igual a cero, entonces y es igual a 15125. Ahora, si quisiéramos, podríamos haber resuelto esto usando un gráfico en lugar de completar el cuadrado, aunque hubiéramos necesitado obtener la ecuación en primer lugar. Pero el álgebra, aunque requiere un poco de reflexión por parte del matemático, requiere menos fuerza bruta y es mucho más rápido.

Entonces, en respuesta a su pregunta original: cincuenta y cinco es el número óptimo de árboles en este escenario.

Bueno, la idea básica es que si tenemos el rendimiento será una función de la cantidad de árboles [matemática] y (t) [/ matemática] ¿qué sabemos? Bueno, si plantamos más de 50 árboles por acre, entonces [math] t-50 [/ math] describe la cantidad adicional de árboles por acre. Nos costaría 5 naranjas por cada uno de estos árboles.

Por lo tanto, esperamos que aparezca un “término de costo” como [math] -5 (t-50) [/ math].

Cuando tenemos exactamente 50 árboles por acre, este término de “costo” desaparecería. Por lo tanto, parece razonable sugerir [matemáticas] (300 – 5 (t-50)) [/ matemáticas] es el rendimiento por árbol.

El rendimiento total sería simplemente el rendimiento por árbol multiplicado por el número de árboles: [matemática] y (t) = (300 – 5 (t-50)) t = 550t – 5t ^ {2} [/ matemática].

Maximizar esta función daría la solución. (Para maximizar, hay varios esquemas diferentes, pero todos se reducen a: encontrar dónde desaparece la primera derivada, luego determinar el valor de la función en este punto crítico).

Supongamos que plantaste n árboles adicionales.
Disminución del rendimiento en 1 árbol adicional: 5
Disminución del rendimiento en n árbol adicional: 5 * n
El nuevo rendimiento por árbol sería: 300-5 * n

El rendimiento total será: no de árboles * Rendimiento por árbol
: (n + 50) * (300-5 * n)
: -5n ^ 2 + 50 * n + 15000

Diferenciando la ecuación anterior para obtener el valor máximo de n
-10 * n + 50 = 0
n = 5

Por lo tanto, Número total de Tress: 50 + n = 50 + 5 = 55