¿Hay alguna prueba de que la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es constante?

Answer 1

¿Hay alguna prueba de que la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es constante?

Oh, espero que no, ya que ni siquiera es cierto en tu espacio promedio no euclidiano.

Creo que muchas personas dan por sentado las propiedades de pi. Quiero saber sus antecedentes.

Incluso más personas dan por sentadas las propiedades del espacio euclidiano, incluida toda la comunidad matemática durante siglos desde que Euclides publicó por primera vez sus Elementos alrededor de 300 a. C. No es irrazonable hacerlo por defecto, incluso en los tiempos modernos, pero si realmente quiere familiarizarse con [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], es mejor divorciarlo de su nacimiento como una relación geométrica.

Personalmente, recomiendo leer, digerir y regurgitar la respuesta de Alon Amit a ¿Qué es [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]? Por lo menos, trata de entender lo que dice Alon y mantente alejado de los míticos [matemáticos] \ pi [/ matemáticos] que habitan en Internet y que son comunes incluso aquí en Quora .

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PD: También es instructivo identificar dónde las “pruebas” en las respuestas de otras personas asumen las propiedades del espacio euclidiano. Por lo general, se trata de asumir figuras congruentes o invariancia bajo traducción o similares …

Answer 2

La longitud de una curva (suave) [matemática] \ gamma: [a, b] \ a \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemática] se define como

[matemáticas] \ int_a ^ b \ | \ dot {\ gamma} (t) \ | dt [/ math]

donde [matemáticas] \ | (x, y) \ | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ math] es la norma euclidiana. Por supuesto, la curva podría estar más generalmente en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] y la norma correspondiente sería la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de todos los componentes.

Sin pérdida de generalidad, podemos hacer que el círculo se centre en el origen, ya que el sistema de coordenadas se impone externamente. El círculo de radio [matemática] r [/ matemática] centrado en el origen (menos el punto [matemática] (- 1,0) [/ matemática]) es la curva

[matemáticas] \ gamma (t) = \ left (r \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2}, \ frac {2rt} {1 + t ^ 2} \ right) [/ math]

donde [math] t \ in (- \ infty, \ infty) [/ math].

La longitud de la circunferencia del círculo es (por definición) la integral

[matemáticas] C = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ | \ dot {\ gamma} (t) \ | dt [/ math]

[matemáticas] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left \ | \ left (\ frac {-4rt} {(1 + t ^ 2) ^ 2}, \ frac {2r (1-t ^ 2)} {(1 + t ^ 2) ^ 2} \ right) \ right \ El | dt [/ math]

[matemáticas] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {2r} {1 + t ^ 2} dt [/ math]

Entonces entendemos eso

[matemáticas] \ frac {C} {2r} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {1 + t ^ 2} dt [/ math]

y el lado derecho es independiente de [math] r [/ math], por lo que la relación entre la circunferencia y el diámetro de cualquier círculo es constante.

Answer 3

Sí, si puede definir Circle como caso límite del polígono regular de n lados, ya que n tiende al infinito y asume los axiomas de euclides para geometría y axiomas de números reales, es posible demostrar que la razón es constante. Una vez que tal prueba esté aquí Prueba: Pi es constante, pero creo que podría ser posible un argumento más elemental.

Answer 4

de hecho, la hay. pero primero permítanos entender qué quiere decir con “círculo”.

si quiere decir con un círculo, un objeto físico, como una rueda, etc., entonces la prueba que busca es experimental. tomas varios círculos a tu alrededor y mides esta relación.

si quiere decir con un círculo, un círculo abstracto, es decir, una abstracción matemática, puede redefinir cualquier círculo como un círculo de radio unitario. La abstracción en matemáticas te permite redefinir la unidad. en ese sentido, cada círculo es solo un círculo de radio unitario. ahora si el círculo tiene dos parámetros, como el rectángulo tiene, entonces no habría podido hacerlo, por lo tanto, no tendría una relación fija de la diagonal de un rectángulo a su lado más largo. un rectángulo se define por su longitud y su ancho, por lo que solo puede suponer que uno de ellos es unidad sin pérdida de generalidad. tomemos un cuadrado, que puede definirse con un solo parámetro, puede asumir nuevamente que cualquier cuadrado es un cuadrado de longitud unitaria. de hecho, la circunferencia del cuadrado a su lado, o su diagonal, es una constante.

esencialmente, en matemáticas abstractas, tenemos una variable de medición libre disponible. Se llama unidad. En muchos teoremas matemáticos utilizamos esta libertad, wlog, asumimos x = 1, y luego procedemos con el resto.

Answer 5

Cuando se habla de los círculos, a menos que se especifique lo contrario, los círculos están en el espacio euclidiano.

Sí, la primera prueba fue dada por Arquímedes. Para la prueba de Arquímedes, vea Medición de un círculo de Arquímedes.

La prueba moderna utiliza la fórmula para la longitud del arco basada en integrales.

Mucho antes de Arquímedes e incluso antes de las matemáticas formales (es decir, definiciones precisas y pruebas), se creía en muchas culturas antiguas que las medidas lineales correspondientes de figuras similares son proporcionales. Como todos los círculos son similares, y las circunferencias y diámetros son medidas lineales, por lo tanto, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es constante.

Answer 6

Si tiene dos círculos en el plano, el segundo es la imagen del primero bajo la composición de una traducción y dilatación. Es intuitivamente claro que ambos mapas conservan la relación de la circunferencia del círculo a su diámetro (y no es particularmente difícil de probar), y es por eso que es constante.

Answer 7

Soy un estudiante de noveno grado y encontré que la trigonometría es lo suficientemente fácil como para demostrar que pi es constante para cualquier círculo. Espero que esto ayude ….

Aquí, en la primera imagen, he dado la figura de dos círculos concéntricos que he usado para demostrar que pi es una constante. También se describe la construcción.

Aquí, en la segunda imagen, he usado trigonometría para mostrar que la proporción de las fracciones / diámetro de ambos círculos es igual. es decir, m / d = L / D. Al final, he mostrado cómo multiplicar las fracciones con n [no. de lados en cualquier polígono cíclico de lados regulares] puede estimar la circunferencia del círculo.

Aquí he concluido que la relación entre la circunferencia y el diámetro de ambos círculos es igual, también mencionando la relación pi. También dada la derivación para la fórmula de la circunferencia del círculo.