¿Es la geometría el área más fundamental de las matemáticas?

Answer 1

Al contrario de las otras respuestas dadas, sostengo que la teoría de categoría superior es actualmente el marco más viable para formalizar las matemáticas en su conjunto. No puedo pensar en ninguna rama de las matemáticas que no se haya formalizado en el lenguaje de las categorías.

• La teoría de Topos maneja la lógica, en sus muchas formalizaciones.
• La teoría de las especies de Joyal maneja la combinatoria.
• El álgebra en su conjunto se formaliza mejor en teoría de categorías.
• La geometría algebraica depende en gran medida de las poleas, gracias al trabajo revolucionario de Grothendieck en los años sesenta y setenta.
• Los manejos modernos de la topología dependen en gran medida de los marcos categóricos, especialmente la topología algebraica.
• El análisis en el camino de la geometría diferencial ha visto una formalización muy hermosa en el lenguaje de los topos superiores gracias a la construcción de Urs Schreiber sobre el trabajo anterior de Bill Lawvere, et alii .
• La teoría de conjuntos está totalmente subsumida por la teoría de categorías, y en un sentido la teoría de categorías es el “siguiente paso” después de la teoría de conjuntos.

No estoy seguro de cuánto se ha utilizado para expresar la teoría de categorías de la teoría de modelos, pero creo que es probable que la teoría de topos superiores esté bien equipada para la tarea. La teoría de la computación goza de profundas conexiones con la teoría de categorías a través de la correspondencia Curry-Howard-Lambek.

Answer 2

La geometría es una de las primeras, más antiguas y más esenciales ramas de las matemáticas que se utilizarán y sistematizarán. Las culturas antiguas tenían conocimiento de la geometría práctica y de ciertos resultados geométricos.

Un paso importante en la historia de la geometría fue la escritura y publicación de los trece libros de Elementos de Euclides aproximadamente 300 años antes de Cristo, creando lo que más tarde se conoció como geometría euclidiana. “The Elements es principalmente una sistematización del conocimiento anterior de la geometría. Su mejora con respecto a los tratamientos anteriores se reconoció rápidamente, con el resultado de que había poco interés en preservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos” (de Wikipedia)

Durante muchos siglos antes de la formulación de la notación algebraica moderna y antes de que la geometría cartesiana y analítica, el álgebra, la geometría y las ecuaciones no estuvieran separadas, y las soluciones a las ecuaciones a menudo se encontraban utilizando métodos geométricos.

Hoy en día la geometría y sus diversas subdivisiones (euclidiana, no euclidiana, diferencial, topológica, algebraica, fractal …) forman un área importante de estudio e investigación matemática.

Answer 3

¿Es la pregunta, “¿Es la geometría el área más fundamental de las matemáticas como parte de las matemáticas?”, O es, “¿Es la geometría el área más fundamental de las matemáticas en relación con el papel de las matemáticas en relación con todo?”

La geometría en, en cierto sentido, el área más física de las matemáticas, ya que describe, en formas perfectas, las estructuras físicas del mundo en que vivimos, de hecho, el universo en el que vivimos. Las moléculas tienen las formas que tienen debido a la geometría. relaciones Cómo se pueden conectar los átomos de carbono, desde el grafito a los diamantes, desde las bolas de bucky a los nanotubos, no es aleatorio, sino que depende de cómo debe funcionar su geometría. Y los planetas viajan por rutas a través del sistema solar que siguen imperativos geométricos. Un gran enigma para Watson y Crick, que resolvieron con la idea de Rosalind Franklin, fue determinar la geometría de la molécula de ADN. La doble hélice no es una posibilidad aleatoria, sino lo que tenía que ser el ADN.

Todo resulta ser un poco más complicado de lo que Euclides lo tenía, pero los teoremas que probó no eran solo abstracciones, sino modelos de un mundo muy real. En este sentido, es, en mi opinión, el área más fundamental de las matemáticas.

Answer 4

La geometría es una buena maestra. Te da una visión firme de los objetos. Esto funciona en dimensiones y formas bajas con fórmulas analíticas. Cuando esto ya no se cumple, la geometría todavía ayuda con las protopciones. Es uno de los estudios confiables como álgebra básica. El tema nunca debe abandonar su marco matemático. Su historia es rica y ha contribuido mucho.

Answer 5

Las habilidades utilizadas para probar teoremas geométricos, especialmente las que se enseñan en el nivel secundario, pueden no ser fácilmente transferibles a otros dominios matemáticos más abstractos. (Ver “Prueba en diferentes dominios matemáticos” por Filyet Asli Ersoz en http://140.122.140.1/~icmi19/fil …)

En este sentido, la geometría puede no ser el área más fundamental de las matemáticas. Creo que la lógica y la teoría de conjuntos son más fundamentales. De una forma u otra, parecen impregnar casi todos los dominios de las matemáticas, incluida la geometría tal como se enseña a nivel universitario.