En el triángulo ABC, D y E son 2 puntos en BC, de modo que DB = DE = EC y ángulo BAD = x, ángulo DAE = y, ángulo EAC = z luego sin (x + y) * sin (y + z) / sinx * sinz =?

Answer 1

Deje [math] BD = DE = EC = d [/ math]
Entonces [matemáticas] BE = DC = 2d [/ matemáticas]
Ahora en [math] \ triangle BAD [/ math] y [math] \ triangle EAC [/ math] se cumplen los siguientes
[matemáticas] sen x = \ frac {BD * sin B} {AD} [/ matemáticas] (1)
[matemáticas] sen z = \ frac {EC * sin C} {AE} [/ matemáticas] (2)
En [math] \ triangle BAE [/ math] y [math] \ triangle DAC [/ math] se cumplen los siguientes
[matemáticas] sin (x + y) = \ frac {BE * sin B} {AE} [/ matemáticas] (3)
[matemáticas] sin (y + z) = \ frac {DC * sin C} {AD} [/ matemáticas] (4)
Dividir el producto de las ecuaciones (3) y (4) y con el producto de la ecuación (1) y (2) nos da
[matemáticas] \ frac {sin (x + y) sin (y + z)} {sin x sin z} [/ matemáticas]
que será igual a
[matemáticas] \ frac {BE * DC} {BD * EC} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {4d ^ 2} {d ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 [/ matemáticas]

Answer 2

Bueno, una forma de resolver esto rápidamente es hacer trampa de la siguiente manera.

Ahora ya sabes AD = DE = BC y esta ecuación
sin (x + y) * sin (y + z) / sinx * sinz
debe ser cierto para todos los ángulos x, y, z

simplemente reemplace los ángulos x, y, z por 30, 30, 30 obtendrá
(3/4) / (1/4) = 3