Si un cilindro hueco, un cilindro sólido y una esfera bajaran por una rampa, ¿por qué la esfera llegaría primero al fondo?

Answer 1

Antes de responder, debemos darnos cuenta de que existe una suposición subyacente de que todos los objetos tienen la misma masa. En consecuencia, los cuerpos tienen diferentes densidades.

Dado eso, comencemos nuestro análisis. Para cualquier proceso, la energía se conserva. Para este caso, hay 3 tipos diferentes de energía: energía cinética traslacional (energía porque avanza), energía cinética rotacional (debido rotación) y energía potencial. Más formalmente, podemos escribir como:

[matemáticas] E = mgh + mv ^ {2} / 2 + I \ omega ^ {2} / 2 [/ matemáticas]

Otra suposición hecha aquí es que los objetos están rodando sin resbalar. Matemáticamente, esto significa:

[matemáticas] v = r \ omega [/ matemáticas]

Si se tiene en cuenta este supuesto, nuestra ecuación original se convierte en:

[matemáticas] E = mgh + mv ^ {2} / 2 + Iv ^ {2} / 2r ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora analicemos. Para todos los cuerpos [matemática] m [/ matemática], [matemática] h [/ matemática], [matemática] r [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática] son ​​iguales. La diferencia radica en [matemáticas] I [/ matemáticas] y es inversamente proporcional a la velocidad (o rotación). [matemáticas] I [/ matemáticas] viene dado por

[matemáticas] \ Sigma mr ^ {2} [/ matemáticas]

Para el cilindro hueco, la masa se coloca más alejada del centro y, por lo tanto, [math] r [/ math] es grande, [math] I [/ math] es grande y, en consecuencia, es lenta. Para el caso de la esfera, la distribución de masa se produce más cerca del centro que en cualquier otro caso, por lo que tiene una velocidad más baja [matemática] I [/ matemática] y más alta. También hay una respuesta intuitiva para esto, pero supongo que las matemáticas le proporcionarán una buena comprensión de las ecuaciones.

Answer 2

Todo depende del momento de inercia. La aceleración es inversamente proporcional al momento de inercia, ya que sabemos que el radio y la masa de los tres son iguales y el hecho de que MI es menor para la esfera. Es por eso que llegará más rápido.

Answer 3

La respuesta, como puede verse fácilmente, de este problema depende de la velocidad de rodadura de cada una de esas formas geométricas. Eso significa que uno tiene que averiguar cuál de estos objetos se mueve más rápido. Dado que cada forma tiene su forma especial de rodar y moverse, por lo tanto, tienen una velocidad diferente de rodar en la superficie de la rampa, debido a la fuerza de fricción que actúa sobre cada una y al momento de inercia de cada una. Ahora no necesitamos calcule que en detalles que es fácil de hacer, uno puede decir que la esfera está llegando al fondo primero, debido a que su punto de contacto con la superficie del parm es menor en superficie, por lo que la fuerza de fricción es menor que la de ambos cilindros Por supuesto, no se dan las masas, el material, porque en este caso la fuerza de fricción será más clara, ya que la fuerza de fricción depende de la fuerza normal sobre la superficie multiplicada por el coeficiente de fricción, y la fuerza normal en este caso depende de la longitud (Mgy) y el ángulo de la rampa con y o con x.También el momento de inercia que está relacionado con la distancia desde el centro y la masa, en general es I = Suma M. Con toda esta información física, está claro que la esfera está llegando al fondo de La rampa primero.

Answer 4

Si estos objetos se deslizaran por una rampa sin fricción desde la misma altura, alcanzarían el fondo al mismo tiempo. Las masas ni sus densidades importan. La energía potencial es M * g * h cerca de la superficie de la tierra. (Donde M = masa del objeto, g = la constante gravitacional [9.8 m / s ^ 2] yh = altura caída.) La energía cinética de estos objetos es 1/2 * M * v ^ 2. (Donde v es la velocidad en la parte inferior). Al establecer estos dos iguales, M * g * h = 1/2 * M * v ^ 2. Resolver para v ^ 2 = 2 * g * h. La velocidad final y, por lo tanto, el tiempo de viaje no dependen de la masa.

Rodar cambia las cosas. Ahora, parte de la energía potencial se convierte en energía cinética rotacional, que simplemente llamaré energía rotacional. El objeto que contiene la mayor cantidad de energía rotacional, tiene la menor energía cinética de traslación, viaja más lento y llega al final del fondo. La energía cinética rotacional es 1/2 * c * M * v ^ 2, donde c es el coeficiente que rige el tipo de objeto rodante. Ahora la energía potencial se distribuye entre las energías cinética y rotacional de acuerdo con la ecuación M * g * h = 1/2 * M * (c + 1) * v ^ 2. De nuevo, la masa es irrelevante, y v ^ 2 = 2 * g * h / (c + 1). Cuanto mayor es el valor de c, más lenta es la velocidad final y más tiempo tarda el objeto en llegar al fondo.

El cilindro hueco tiene un valor de c = 1. Este es el valor más grande que puede ser c, porque la masa giratoria está más alejada del centro del objeto. En este caso, la mayor cantidad de energía posible se convierte en energía de rotación, por lo que el objeto se mueve más lentamente y toca el fondo al final.

El cilindro sólido tiene un valor de c = 1/2. Esto es sensato porque alguna masa está en el eje central y otra está en el borde. Si la masa es toda central, c = 0. Entonces, esto promedia a c = 1/2. Por otro lado, una esfera sólida tiene un valor de c = 2/5. Este valor es menor que el del cilindro porque solo una pequeña porción de la esfera es la distancia radial completa desde el eje central de rotación. A medida que nos acercamos al eje de rotación, más de la masa de la esfera tiene cada vez menos energía de rotación. Entonces, con ac = 2/5, la esfera (en la parte inferior) tiene la menor energía de rotación, tiene la mayor energía cinética y llega primero a la parte inferior.

Answer 5

Cuando un objeto está rodando por una rampa, su energía se compone de tres componentes:

[matemáticas] mgh = \ frac {1} {2} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 [/ matemáticas]

El primer término es la energía potencial; Esta es la energía que se necesita para levantar el objeto por la rampa. Esto es igual a [matemática] mgh, [/ matemática] con [matemática] m [/ matemática] siendo la masa, [matemática] g [/ matemática] la aceleración debida a la gravedad, y [matemática] h [/ matemática] la altura de la rampa.

El segundo término es la energía cinética traslacional; Esta es la energía que se necesita para que el objeto baje por la rampa. Esto es igual a [math] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ math], siendo [math] m [/ math] la masa y [math] v [/ math] la velocidad de traslación.

El tercer término es la energía cinética rotacional; Esta es la energía que se necesita para que el objeto ruede. Esto es igual a [matemática] \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 [/ matemática], siendo [matemática] I [/ matemática] el momento de inercia (la resistencia del objeto a rotar) y [matemática ] \ omega [/ math] es la velocidad angular.

Cuando un objeto rueda de tal manera que un punto en su borde tiene una velocidad [matemática] v [/ matemática], la velocidad angular viene dada por [matemática] \ frac {v} {R} [/ matemática]. Debido a que ninguna de estas formas se desliza por la pendiente (lo que complica su vida), esto es cierto.

Por razones, el momento de inercia de un objeto sobre un eje es [math] \ int r ^ {2} _ \ perp \ text {d} m [/ math]. La intuición detrás de esto es que, como una pequeña pieza de masa está más lejos del eje de rotación, debe moverse más rápido. La matemática detrás de esto es un poco más complicada, pero probablemente pueda encontrar una derivación elegante en línea en alguna parte.

Entonces, encontremos estos momentos de intertia:

Para el tubo , lo mejor es hacer coordenadas cilíndricas. [matemática] m = 2 \ sigma \ pi rl [/ matemática], [matemática] \ text {d} m = R \ sigma \ text {d} z \ text {d} \ theta [/ matemática] y [matemática] r_ \ perp = R [/ math], entonces [math] I = \ int ^ {2 \ pi} _0 \ int ^ {l} _0 R ^ 2 \ sigma \ text {d} z \ text {d} \ theta [/matemáticas].

Esto se evalúa como [math] mR ^ 2 [/ math] una vez que resuelve las integrales y las sustituye en la masa.

Para el cilindro , esto también se hace mejor en coordenadas cilíndricas. [matemática] m = \ rho \ pi r ^ 2 l [/ matemática], [matemática] \ text {d} m = \ rho r \ text {d} r \ text {d} \ theta \ text {d} z [/ math] y [math] r_ \ perp = r [/ math], entonces [math] I = \ int ^ {l} _ {0} \ int ^ {2 \ pi} _ {0} \ int ^ { R} _ {0} \ rho r ^ 3 \ text {d} r \ text {d} \ theta \ text {d} z [/ math].

Esto se evalúa como [math] \ frac {1} {2} mR ^ 2 [/ math] una vez que resuelve las integrales y las sustituye en la masa.

Para la pelota , cambie a coordenadas esféricas, porque es una esfera. [matemática] m = \ frac {4} {3} \ rho \ pi r ^ 3 [/ matemática], [matemática] \ text {d} m = \ rho r ^ 2 \ sin \ theta \ text {d} r \ text {d} \ theta \ text {d} \ phi [/ math] y [math] r_ \ perp = r \ sin \ theta, [/ math] entonces [math] I = \ int ^ {2 \ pi} _0 \ int ^ {\ pi} _ {0} \ int ^ {R} _ {0} \ left (r \ sin \ theta \ right) ^ 2 \ rho r ^ 2 \ sin \ theta \ text {d} r \ text {d} \ theta \ text {d} \ phi [/ math]

Esto se evalúa como [math] \ frac {2} {5} mR ^ 2 [/ math] una vez que resuelve las integrales y las sustituye en la masa.

Y para una esfera , porque soy agradable y también ridículamente pedante, [matemáticas] m = 4 \ sigma \ pi r ^ 2 [/ matemáticas], [matemáticas] \ text {d} m = \ sigma R ^ 2 \ sin \ theta \ text {d} \ theta \ text {d} \ phi [/ math] y [math] r_ \ perp = R \ sin \ theta [/ math], entonces [math] I = \ int ^ {2 \ pi} _0 \ int ^ {\ pi} _ {0} \ left (R \ sin \ theta \ right) ^ 2 \ sigma R ^ 2 \ sin \ theta \ text {d} \ theta \ text {d} \ phi .[/matemáticas]

Esto evalúa a [math] \ frac {2} {3} mR ^ 2 [/ math] una vez que resuelve las integrales y las sustituye en la masa.

Ahora es el tramo final. Reorganice la ecuación de energía anterior para encontrar la velocidad:

[matemáticas] mgh = \ frac {1} {2} mv ^ 2 + \ frac {I} {2R ^ 2} v ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] v ^ 2 = \ frac {mgh} {\ frac {1} {2} m + \ frac {I} {2R ^ 2}} [/ matemáticas]

Notarás que, en esta expresión, a medida que aumenta el momento de intertia, la velocidad se reduce. Esto significa que, para las cuatro formas que he mencionado, llegan al final en el orden

1. Pelota
2. Cilindro
3. Esfera
4. Tubo

Answer 6

Esto se debe a que el cilindro tiene algunos bordes, que son las partes circulares del cilindro, lo que hace que el proceso de laminado sea desigual. Pero como la esfera no tiene bordes ni lados, no hay nada * que pueda resistir su movimiento. Entonces, debido a esta esfera, también puede cambiar su dirección fácilmente en comparación con el cilindro.

* Ignorando las leyes de física.

Gracias.

Answer 7

usar teorema
trabajar por todas las fuerzas = cambio en la energía cinética, es decir
mgh = 1/2 I (w) cuadrado
más yo menos w
w = velocidad angular
I = momento de inercia masivo.
puede consultar los aspectos básicos de las preguntas en el libro de física de HCVerma para referencia

Answer 8

Aquí hay una versión simple de la razón: se requiere energía para rotarlos a todos. Esta energía proviene de la fricción. Cuanto más difícil sea rotar un objeto, más lento se acelerará. El descanso es fácil.

Answer 9

Incluido a todas las otras excelentes respuestas a continuación,

La fricción también juega un papel donde la esfera teóricamente solo tiene 1 punto en contacto con un suelo en cualquier punto en el tiempo, mientras que en teoría ambos cilindros tienen una sola línea en contacto con el suelo.

Answer 10

La esfera llega primero al fondo porque la esfera tiene menos área de contacto con la superficie.

Más área de contacto ==> Más fricción (La fricción se opone al movimiento relativo) ==> Menos velocidad.

Answer 11

La esfera rodante con un menor momento de inercia rotacional por unidad de masa que los 2 cilindros pone menos energía potencial liberada al caer en energía cinética rotacional y más en energía cinética de movimiento lineal, por lo que cae más rápido.

Answer 12

Presumiblemente, ¿eso se debe a que la fricción de rodadura es más baja para una esfera?

En mi bicicleta de carreras. Sube mis llantas a 10 psi menos que el máximo permitido. ¿Por qué? Reduce la fricción de rodadura (menos neumáticos en contacto con la carretera). También mejora la resistencia de los neumáticos a los pinchazos.

Answer 13

Aceleración = (mgcos (theta) * R ^ 2) / (Icom + MR ^ 2)
Más aceleración, poco tiempo .. !!