Dos círculos con los centros X e Y se cruzan entre sí en A y B. El punto A se une con S, el punto medio de XY. La perpendicular a SA a través de A intersecta los círculos en P y Q. ¿Cómo puedo demostrar que PA = AQ?

Answer 1

Únete a PB, BQ, BX y BY.
[matemáticas] \ triángulo [/ matemáticas] BPQ y [matemáticas] \ triángulo [/ matemáticas] BXY
[matemática] \ angle PQB = \ angle XYB [/ math]
[matemáticas] \ angle BPQ = \ angle BXY [/ math]

[matemática] \ por lo tanto \ triangle BPQ \ sim \ triangle BXY [/ math]

[matemáticas] \ frac {PQ} {XY} = \ frac {BQ} {BY} [/ matemáticas] (1)

Ahora únete a BS
[matemáticas] \ triángulo [/ matemáticas] BAQ y [matemáticas] \ triángulo [/ matemáticas] BSY
[matemática] \ angle AQB = \ angle SYB [/ math]
[matemática] \ angle BAQ = \ angle BSY [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ triangle BAQ \ sim \ triangle BSY [/ math]

[matemáticas] \ frac {AQ} {SY} = \ frac {BQ} {BY} [/ matemáticas] (2)

De (1) y (2)

[matemáticas] \ frac {PQ} {XY} = \ frac {AQ} {SY} [/ matemáticas]

[matemáticas] PQ = \ frac {AQ \ veces XY} {SY} [/ matemáticas]

Desde XY = 2SY

[matemáticas] PQ = 2AQ [/ matemáticas]

[matemáticas] AP + AQ = 2AQ [/ matemáticas]

[matemáticas] AP = AQ [/ matemáticas]

Answer 2

Dibuje XL y YM [matemáticas] \ perp [/ matemáticas] a PQ .

[matemática] AL \ paralela SA \ paralela YM [/ matemática] y XY tiene intersecciones iguales.

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] interceptar LA [matemáticas] \ cong [/ matemáticas] AM

pero PA = 2 LA y AQ = 2 AM

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] PA = AQ

Answer 3

PARA PROBAR: PA = PQ

CONSTRUCCIÓN: XM perpendicular al acorde PA. Y YN prependicular al acorde AQ de los círculos respectivos.

PTOOF: Dado que SA también es perpendicular a PQ (dado)

Entonces, todos estos perpendiculares a la misma línea son paralelos entre sí.

=> XM // SA // YN

Desde, SX = SY (dado)

=> AM = AN (como, si // las líneas hacen intersecciones iguales en una transversal, entonces también hacen intersecciones iguales en otra transversal.) ……………. (1)

Pero AM = PA / 2 y AN = AQ / 2 (como perpendicular desde el centro a un acorde divide el acorde)

=> PA / 2 = AQ / 2 (por la ecuación (1)

=> PA = AQ

[ Demostrado]