¿Cuál es el análogo unidimensional de las tiras de Mobius y las botellas de Klein?

Me sorprende la cantidad de personas que piensan que una botella de Klein es un objeto tridimensional en un espacio de cuatro dimensiones. No es.

El nombre de botella de Klein es un nombre inapropiado. Klein era alemán y lo que ahora se llama comúnmente una botella de Klein lo llamó superficie porque eso es lo que es. Lamentablemente, las palabras alemanas para superficie y botella son muy similares. Igual de desafortunado es el hecho de que las representaciones bidimensionales y tridimensionales de una superficie de Klein se parecen a las botellas.

Las superficies son bidimensionales (largo y ancho pero sin grosor).

Una tira de Mobius es una superficie bidimensional en un espacio tridimensional. No es el único. Hay muchos otros; entre ellos hay una esfera (la superficie de una bola) y un toro (la superficie de una rosquilla).

Una superficie de Klein es una superficie bidimensional en un espacio de cuatro dimensiones. En el espacio tridimensional, es una superficie bidimensional que se cruza a sí misma.

No puede haber una superficie bidimensional en un espacio unidimensional, por lo que no existe un análogo.

No existe un análogo unidimensional para la tira de Mobius, ya que dicho análogo tendría que ser un colector no orientable, y todos los colectores unidimensionales son orientables. En particular, todas las variedades unidimensionales son difeomorfas a la línea real [math] \ mathbb {R} [/ math] o al círculo [math] S ^ 1 [/ math], ambas claramente orientables.

Una búsqueda rápida en Google me llevó a esta discusión en MathOverflow sobre una explicación más intuitiva para esto: ¿Cuál es la mejor manera de explicar a los estudiantes universitarios que todas las variedades unidimensionales son orientables?