Un conjunto finito de cuadrados unitarios está en mosaico con triángulos rectángulos isósceles de hipotenusa 2, de modo que la hipotenusa de cada triángulo se encuentra a lo largo de una línea de cuadrícula, y los vértices de los triángulos se encuentran en las esquinas de los cuadrados. ¿Cómo se puede demostrar que el número de triángulos debe ser un múltiplo de 4?

Answer 1

¿Qué hay de esto?

Dibujo un gráfico dirigido. Para cada unidad cuadrada usamos un vértice. Ahora comience en cualquier vértice y cree un ciclo dirigido hamiltoniano, donde A-> B si un medio cuadrado de A y un medio cuadrado de B crean un triángulo de hipotenusa-2.

Obtenemos un polígono que es el ciclo dirigido hamiltoniano. Si un lado del polígono está entre dos vueltas en direcciones opuestas, tiene una longitud par, de lo contrario tiene una longitud impar.

Ahora, para cada esquina de 270º, sustitúyala por tres esquinas de 90º, esto agregará 4 unidades al perímetro total para que el módulo 4 del perímetro total no haya cambiado. Ahora tenemos un polígono (quizás auto-intersectado y no convexo) donde todas las esquinas son 90º. Todos los lados miden un número entero impar. Ahora es trivial que el perímetro sea múltiplo de 4, porque el polígono es equivalente a un rectángulo con todos los lados impares.