Hay varios tipos diferentes de respuestas a esta pregunta, algunas equivalentes, otras no. Este comportamiento a menudo se atribuye a la curvatura, y eso es correcto hasta cierto punto, pero no es la raíz del problema.
En cambio, la causa de esto es la misma razón por la que diferenciar los campos vectoriales es difícil y necesitamos múltiples tipos de derivados (ver el final de la respuesta). Pero primero-
TL; DR. (Para abordar el diagrama que dibujó). Su “generalización natural” es defectuosa. Lanzaste un par de vectores y codificadores para la primera derivada, bien, entonces, ¿por qué solo arrojas un codificador para la segunda derivada? Estás confundiendo lo que te gustaría obtener con lo que realmente obtienes. Piensa en los espacios en los que viven todos los objetos.
La respuesta larga:
- Un conjunto finito de cuadrados unitarios está en mosaico con triángulos rectángulos isósceles de hipotenusa 2, de modo que la hipotenusa de cada triángulo se encuentra a lo largo de una línea de cuadrícula, y los vértices de los triángulos se encuentran en las esquinas de los cuadrados. ¿Cómo se puede demostrar que el número de triángulos debe ser un múltiplo de 4?
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- Cómo encontrar la ecuación de las directrices y los focos de la elipse [matemáticas] 8x ^ 2 + 4xy + 5y ^ 2 – 24x -24y = 0 [/ matemáticas]
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No se descompone. Solo obtienes objetos engorrosos (no físicos).
Lo primero que debe venir a la mente cuando piensa en derivados de segundo orden frente a primer orden es la aceleración frente a la velocidad. Tome el movimiento circular, por ejemplo, donde su superficie es [math] S \ subset \ mathbb {R} ^ 2 [/ math].
Tu velocidad apunta en la dirección hacia la que te mueves en un instante en particular: las flechas negras tangenciales de arriba. Es un elemento del espacio Tangente de la superficie sobre la cual está restringido su movimiento, denotado [math] T_p S [/ math]. Es decir, su velocidad [matemática] \ mathbf {v} [/ matemática] cuando está en el punto [matemática] p \ en S [/ matemática] satisface:
[math] \ mathbf {v} \ en T_p S [/ math].
Su aceleración también se conoce como la velocidad de sus vectores de velocidad. Tenga en cuenta que cada vector de velocidad pertenece a un espacio tangente diferente [matemática] T_p S [/ matemática]. En términos de la imagen de arriba, cada velocidad se basa en un punto rojo diferente. Estos espacios tangentes son conjuntos diferentes entre sí y no hay una forma preferida de identificarlos entre sí. Ahí está tu problema.
Este no fue el caso en el párrafo anterior porque estabas diferenciando una función cuyos valores estaban en el mismo conjunto, la superficie [matemática] S [/ matemática]. La solución es simple, solo agrupa todos los espacios tangentes en una sola cosa. Obtienes el paquete Tangente.
[matemáticas] TS = \ coprod_ {p \ en S} T_p S [/ matemáticas]
Esta es una superficie bastante interesante en sí misma. ¿Puedes decir cómo se ve el haz tangente del círculo (unidimensional) de arriba como un múltiple liso? Ver abajo … Cada línea roja representa un espacio tangente. Todos los espacios tangentes son distintos. En conjunto forman el haz tangente. En este caso, es un cilindro.
Como puede ver, el paquete tangente resulta ser una variedad perfectamente agradable en sí misma, cuya dimensión es (siempre) dos veces mayor que la de [math] S [/ math].
Ahora regrese a la analogía de velocidad / aceleración y recuerde: diferenciando su posición en la superficie [matemática] S [/ matemática] le dio su velocidad [matemática] \ mathbf {v} \ en T_p S [/ matemática], un elemento de El espacio tangente a la superficie. Por analogía, diferenciar su velocidad (ahora un elemento del paquete tangente [matemática] TS [/ matemática]) le da su aceleración,
[math] \ mathbf {a} \ en T _ {(p, \ mathbf {v})} TS [/ math],
es decir, un elemento del espacio tangente al haz tangente de la superficie . Este es un espacio intrínseco perfectamente agradable, por cierto, que no es consciente de su variedad ambiental.
Bien, entonces las aceleraciones son elementos del paquete de tangente doble. Pero estamos cableados para querer que las aceleraciones sean vectores en nuestro espacio ambiental, por lo que es razonable preguntar: “¿Qué pasó con la aceleración del movimiento circular simplemente como un vector perpendicular al círculo? Seguramente podemos hacer que esto suceda de alguna manera. Ciertamente no había oído hablar de paquetes de tangente doble antes “.
Sí, podemos hacerlo, pero esto no es gratis, y esta es la razón por la cual tratar con derivados de segundo orden (o superior) es un poco más arduo.
Lo mejor que puede decir al respecto [matemática] TTS [/ matemática] es que, naturalmente, es un subconjunto de [matemática] TT \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemática], pero no uno de lo que desearía: [matemática ] T \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] (recuerde, desea que las aceleraciones sean vectores en su múltiple ambiente original). Solo tenemos que encontrar una manera canónica de descender de [math] TTS \ subseteq TT \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] a [math] T \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. Hacer esto generalmente implica tomar decisiones.
– ¿Qué tipo de derivado quiero?
– Una derivada de la mentira? ¿Una derivada covariante?
– ¿La derivada covariante con respecto a qué conexión afín?
– Y así.
En resumen, el problema es que los espacios tangentes pueden parecer similares pero son objetos distintos. Diferenciar requiere hacer una elección particular de cómo pensar que interactúan entre sí. También debe hacer las mismas elecciones al diferenciar los campos vectoriales en múltiples, por la misma razón exacta.
Entonces, las cosas realmente no se descomponen, solo debes hacer un esfuerzo adicional para que las cosas funcionen como quieres.
Espero que esto ayude.