¿Cuál es una explicación intuitiva de la diferencia entre topología y geometría?

Answer 1

La observación básica es que hay información sobre la “forma” de un objeto que no requiere que se realicen mediciones numéricas.

Por ejemplo, cuando recoges una dona, sabes que es una dona aunque no conoces su radio ni ninguna otra medida al respecto. Sabes que no es una esfera porque pudiste atraparla a través del agujero, y sabes que no puedes hacer eso para una esfera, independientemente de cuál sea su radio. De hecho, sabes que incluso si deformaras la esfera, nunca podrías convertirla en una dona a menos que pudieras rasgarla o pegarla sin problemas sobre sí misma.

Estas son observaciones topológicas. No ha realizado una sola medición, pero siente que sabe algo concreto sobre la dona. Como disciplina matemática, la topología (específicamente la topología algebraica) se preocupa por encontrar declaraciones precisas para estas observaciones, que hasta ahora han parecido muy vagas, sin importar cuán fuertemente pueda estar convencido de su verdad. Esto generalmente se hace codificando la información topológica en maquinaria algebraica.

Por ejemplo, para un objeto topológico dado, uno puede construir un objeto algebraico llamado su “grupo fundamental”. Puedo transmitir el significado de esto sin siquiera decirte qué es exactamente. Hablé arriba de “deformar” una esfera. Existe una gran clase de tales deformaciones llamadas homotopías. Estas deformaciones obedecen a la intuición que descubrimos anteriormente (p. Ej., Que una esfera no es “equivalente de homotopía” a una rosquilla).

La construcción del grupo fundamental también obedece a esta intuición, en un sentido débil. Si uno mira algún objeto X, calcula el grupo fundamental, luego deforma X en Y a través de una homotopía y vuelve a calcular el grupo fundamental, obtendrá el mismo resultado exacto en ambos casos. Lo que esto significa es que si encuentra que dos objetos topológicos diferentes tienen grupos fundamentales diferentes, entonces no pueden ser equivalentes a través de ninguna deformación de homotopía. Resulta que la rosquilla y la esfera sí tienen diferentes grupos fundamentales, por lo que, en cierto sentido, esto funciona como una prueba rigurosa de la intuición que descubrimos anteriormente.

Una vez más, lo esencial aquí es que estamos extrayendo información sobre la forma del objeto que no solo es independiente de mediciones específicas sino que también es independiente de una clase muy general de deformaciones. Los matemáticos dirían que este es un functor de una categoría topológica a una categoría algebraica: los objetos topológicos se están convirtiendo (con una pérdida de información potencialmente significativa) en objetos puramente algebraicos que obedecen a ciertas invariantes (por ejemplo, invariancia de homotopía).

Answer 2

Un problema es que “topología” y “geometría” se han generalizado para que signifiquen muchas cosas diferentes a lo largo de los años, por lo que no es tan fácil adaptar los usos modernos de esos términos a pequeñas cajas ordenadas. Por ejemplo, la respuesta de Zach Conn interpreta que “geometría” significa algo así como “geometría métrica”, pero hay otras cosas que los matemáticos han estado llamando geometría durante décadas que no encajan bajo ese paraguas, por ejemplo, geometría algebraica.

Aquí hay un eslogan bastante vago e inútil: la topología es el estudio de formas “flácidas”, mientras que la geometría es el estudio de formas que se han hecho “rígidas” de alguna manera.

Por ejemplo, un círculo hecho de masa es topología, pero un círculo hecho de metal es geometría. La pregunta “¿puedo llegar de aquí para allá?” es topología, pero la pregunta “¿cuánto tiempo tomaría?” Es geometría. Estudiar funciones continuas es topología, pero estudiar funciones holomórficas es geometría.