No creo que haya ningún avance actual si la hipótesis de Riemann se prueba o no. Solo sé que tal vez hay cientos de teoremas que se han probado bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann.
Por ejemplo, un grupo de colegas que conozco tienen este tipo de resultados publicados de vez en cuando. Algunos de estos resultados son en realidad una condición equivalente a la hipótesis de Riemann. Lagarias tiene una muy interesante para mí, cité su resultado en mi artículo.
PRUEBA DE LA HIPÓTESIS DE RIEMANN DE LA DENSIDAD Y LINDEL¨ DE HIPÓTESIS A TRAVÉS DE UN MÉTODO POWER SUM
ver página 46. Su resultado está bajo la hipótesis de Riemann, una desigualdad es válida en relación con la suma [matemática] \ sigma (n) [/ matemática] de divisores de [matemática] n [/ matemática] y la suma parcial de la serie armónica [matemáticas] H_n = 1 + \ frac {1} {2} + \ ldots + \ frac {1} {n} [/ matemáticas], que es el siguiente:
- Deje que [math] K [/ math] sea un campo. Considere [math] A = \ underset {\ mathbf {N} _0} {\ bigoplus} K [/ math] con una estructura aditiva natural. ¿Cómo encuentras que algunas o mejor describen todas las estructuras multiplicativas en [matemáticas] A [/ matemáticas] convirtiéndolas en un anillo conmutativo ([matemáticas] K [/ matemáticas] -álgebra) con identidad?
- ¿De cuántas maneras se pueden sentar ocho personas, indicadas [matemáticas] A, B, \ ldots, H [/ matemáticas], alrededor de una mesa cuadrada con capacidad para dos personas en cada lado, de modo que dos de las ocho personas digan [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas], ¿no se sientan uno al lado del otro?
- ¿Es el equivalente euclidiano a UFD para dominios cuadráticos sobre enteros (es decir, [matemática] Z [\ sqrt {D}] [/ matemática]), donde [matemática] D [/ matemática] también es un entero?
- Dado que n es un número natural yn ^ 3 tiene 16 factores. Entonces, ¿cuántos factores máximos puede tener n ^ 4?
- ¿Por qué las personas aparentemente inteligentes pierden su tiempo y el de los demás al demostrar que la suma de todos los números naturales positivos es igual a -1/12, cuando la lógica simple dicta que su prueba es incorrecta?
[matemáticas] \ sigma (n) <H_n + e ^ {H_n} \ log H_n [/ matemáticas]
Además, tengo un documento conjunto con Chris Caldwell en el que probamos la existencia de la constante de Mills bajo la hipótesis de Riemann.
Puede consultar la página de Wikipedia sobre esta constante:
Constante de molinos
O bien, puede consultar nuestro documento:
Vea el Teorema 1 en la constante de Mills en la página 2. Es decir, para su conveniencia, pongo una breve declaración aquí:
Asuma la hipótesis de Riemann. La constante mínima de Mills (para el exponente [matemática] c = 3 [/ matemática]) comienza con los siguientes 600 dígitos: [matemática] 1.3063778838 6308069046 8614492602… [/ matemática]