Intencionalmente o no, pero creo que estás haciendo una pregunta abierta, la respuesta (parcial) que puedes encontrar en Wikipedia:
Dominio euclidiano
Grupo de clase ideal
Como todos los dominios euclidianos son UFD, y UFD están cerrados integralmente, podemos restringirnos para un caso cuando [math] \ mathbf {Z} [\ sqrt {D}] [/ math] es un anillo de enteros. Implica que [math] D \ not \ equiv 1 \ mod 4 [/ math]. De lo contrario, el anillo de enteros tendría la forma [math] \ mathbf {Z} \ bigg [\ frac {\ sqrt {D} +1} {2} \ bigg] [/ math].
UFD es equivalente a tener una clase número 1.
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Si [math] D <0 [/ math] solo hay un número finito de ellos para [math] D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, – 163 [/ matemáticas].
No son euclidianos son para [matemáticas] D = -19, -43, -67, -163 [/ matemáticas]. Pero los descartó desde [math] D \ equiv 1 \ mod 4 [/ math] en este caso.
Si [matemática] D> 0 [/ matemática] hay muchos UFD que no son norma Euclidiana (no Euclidiana con respecto a la norma estándar sobre ellos). Pero bajo el supuesto de la hipótesis extendida de Riemann, todos deben ser euclidianos.