¿Hay un número entero positivo cuya repetición es un cuadrado perfecto? Si es así, ¿cuántos enteros positivos puedes encontrar?

Answer 1

Una repetición implica un factor de [matemática] 10 ^ n + 1 [/ matemática] donde [matemática] n [/ matemática] es el número de dígitos repetidos. Estamos buscando una repetición que sea un cuadrado perfecto, por lo que la raíz cuadrada debe tener como máximo [math] n [/ math] dígitos. Esto implica que los factores primos de [matemáticas] 10 ^ n + 1 [/ matemáticas] tienen un primo al cuadrado.

El primer número es

[matemáticas] 10 ^ {11} + 1 = 11 ^ 2 \ veces23 \ veces4,093 \ veces8,779 [/ matemáticas]

Como resultado, podemos obtener un cuadrado perfecto si multiplicamos cualquiera de [matemática] 1 ^ 2 [/ matemática] a [matemática] 10 ^ 2 [/ matemática] por

[matemáticas] 23 \ veces4,093 \ veces8,779 = 826,446,281 [/ matemáticas]

Entonces, la repetición más pequeña que es un cuadrado perfecto es creada por [matemáticas] 4 ^ 2 = 16 [/ matemáticas] por este número (para obtener 11 dígitos repetidos)

[matemáticas] \ text {repetir} (13,223,140,496) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1,322,314,049,613,223,140,496 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (4 \ veces11 \ veces23 \ veces4,093 \ veces8,779) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (36,363,636,364) ^ 2 [/ matemáticas]

Otro factor al cuadrado primo ocurre en [matemática] 10 ^ {243} +1 [/ matemática] que tiene un factor de [matemática] 487 ^ 2 [/ matemática] así que no veo ninguna razón por la cual no habría un número infinito de perfecto repeticiones cuadradas, pero no tengo una prueba a mano …

[editar] La respuesta del usuario de Quora proporciona una prueba de satisfacción personal que podría ampliarse para mostrar que cualquier solución puede utilizarse para generar un número infinito de soluciones.

Answer 2

Gracias por el A2A. Por lo que puedo juzgar, ¿la aplicación para PROMYS expiró y todavía quieres ver una solución? Bueno, no hay nada particularmente emocionante al respecto.

Deje que [math] a = a_0 + a_1 \ cdot 10 + \ ldots + a_ {n-1} 10 ^ {n-1} [/ math] sea un número ([math] n [/ math] -digit número en el representación decimal). Luego, su repetición [matemática] b [/ matemática] se obtiene sumando su desplazamiento por [matemática] n [/ matemática] dígitos, es decir, [matemática] b = (10 ^ {n} +1) a [/ matemática] .

Tenga en cuenta que [matemáticas] 10 ^ {n-1} \ le a \ lt 10 ^ {n}. [/ Matemáticas]

Si [math] m = 10 ^ {n} + 1 [/ math] no tiene factores primos repetidos, entonces [math] b [/ math] no puede ser un cuadrado perfecto, porque de lo contrario [math] a [/ math] tenía que ser al menos [matemática] 10 ^ n + 1. [/ matemática]

Suponga que ha encontrado [math] n [/ math] tal que [math] 10 ^ n +1 = p ^ 2 \ cdot c, [/ math] donde [math] p, c \ in \ mathbb {N} _ { \ ge 2} [/ math], es decir, tiene un factor cuadrado en su factorización.

Entonces podemos elegir [matemática] a = q ^ 2 \ cdot c [/ matemática] y [matemática] q \ in \ mathbb {N} [/ matemática] tal que [matemática] 1 <\ left (\ dfrac {p} {q} \ right) ^ 2 \ lt 10. [/ math] Por ejemplo, la opción [math] q = p-1 [/ math] siempre funcionará. La última desigualdad asegura que [math] a [/ math] tiene precisamente [math] n [/ math] dígitos en su representación decimal. Entonces tendríamos [matemáticas] b = (10 ^ n + 1) a = (pqc) ^ 2, [/ matemáticas] es decir, un cuadrado perfecto.

Entonces la construcción anterior le permite construir, para cualquier [matemática] 10 ^ n +1 [/ matemática] con un factor al cuadrado, un número (en general, muchos de ellos) cuya repetición es un cuadrado perfecto.

Ahora deje que [math] k \ in \ mathbb {N} [/ math] sea un número entero impar. Entonces [math] 10 ^ {kn} +1 [/ math] es divisible por [math] 10 ^ n + 1 [/ math], así que si este último tiene un factor al cuadrado, también lo tiene el primero. Por lo tanto, si hay al menos una repetición que es un cuadrado perfecto, podemos obtener infinitas de ellas simplemente variando [math] k [/ math].

Bueno, encontremos uno.

Primero encuentre [math] n [/ math] tal que [math] 10 ^ n + 1 [/ math] tenga un factor repetido por prueba y error:

sabio: factor (1001)
7 * 11 * 13
sabio: factor (10001)
73 * 137
salvia: factor (100001)
11 * 9091
sabio: factor (1000001)
101 * 9901
sabio: factor (10000001)
11 * 909091
sabio: factor (100000001)
17 * 5882353
sabio: factor (1000000001)
7 * 11 * 13 * 19 * 52579
sabio: factor (10000000001)
101 * 3541 * 27961
sabio: factor (100000000001)
11 ^ 2 * 23 * 4093 * 8779

¡Ajá! [matemáticas] p = 11. [/ matemáticas]

Luego elija [math] q \ in \ mathbb {N} [/ math] tal que [math] 1 \ lt \ left (\ dfrac {p} {q} \ right) ^ 2 \ lt 10 [/ math].

Por ejemplo, cualquier [matemática] 4 \ le q \ le 10 [/ matemática] funcionará.

Ahora construya [math] a [/ math] y [math] b [/ math] y verifique que estos últimos sean cuadrados perfectos:

salvia: q = 4;
salvia: a = q ^ 2 * 23 * 4093 * 8779
sabio: a
13223140496
salvia: a * m
1322314049613223140496
salvia: factor (a * m)
2 ^ 4 * 11 ^ 2 * 23 ^ 2 * 4093 ^ 2 * 8779 ^ 2
salvia: q = 5;
salvia: a = q ^ 2 * 23 * 4093 * 8779
sabio: a
20661157025
salvia: a * m
2066115702520661157025
salvia: factor (a * m)
5 ^ 2 * 11 ^ 2 * 23 ^ 2 * 4093 ^ 2 * 8779 ^ 2
salvia: q = 6;
salvia: a = q ^ 2 * 23 * 4093 * 8779
sabio: a
29752066116
salvia: a * m
2975206611629752066116
salvia: factor (a * m)
2 ^ 2 * 3 ^ 2 * 11 ^ 2 * 23 ^ 2 * 4093 ^ 2 * 8779 ^ 2
salvia: q = 7
salvia: a = q ^ 2 * 23 * 4093 * 8779
sabio: a
40495867769
salvia: a * m
4049586776940495867769
salvia: factor (a * m)
7 ^ 2 * 11 ^ 2 * 23 ^ 2 * 4093 ^ 2 * 8779 ^ 2
salvia: q = 8
salvia: a = q ^ 2 * 23 * 4093 * 8779
sabio: a
52892561984
salvia: a * m
5289256198452892561984
salvia: factor (a * m)
2 ^ 6 * 11 ^ 2 * 23 ^ 2 * 4093 ^ 2 * 8779 ^ 2
salvia: q = 9
salvia: a = q ^ 2 * 23 * 4093 * 8779
sabio: a
66942148761
salvia: a * m
6694214876166942148761
salvia: factor (a * m)
3 ^ 4 * 11 ^ 2 * 23 ^ 2 * 4093 ^ 2 * 8779 ^ 2
salvia: q = 10
salvia: a = q ^ 2 * 23 * 4093 * 8779
sabio: a
82644628100
salvia: a * m
8264462810082644628100
salvia: factor (a * m)
2 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 ^ 2 * 23 ^ 2 * 4093 ^ 2 * 8779 ^ 2
————————————————
Las raíces cuadradas de las repeticiones como lo sugiere Alon Amit, se ven raras …
salvia: 4 * 11 * 23 * 4093 * 8779
36363636364
salvia: 5 * 11 * 23 * 4093 * 8779
45454545455
salvia: 6 * 11 * 23 * 4093 * 8779
54545454546
salvia: 7 * 11 * 23 * 4093 * 8779
63636363637
salvia: 8 * 11 * 23 * 4093 * 8779
72727272728
salvia: 9 * 11 * 23 * 4093 * 8779
81818181819
salvia: 10 * 11 * 23 * 4093 * 8779
90909090910

Entonces, verá los ejemplos de enteros cuyas repeticiones son cuadrados perfectos en las líneas [matemáticas] 4 + 8k [/ matemáticas], donde [matemáticas] k = 0, \ ldots, 6 [/ matemáticas] de la salida de Sage anterior.

Answer 3

Una repetición implica un factor de 10n + 1 [matemática] 10n + 1 [/ matemática] donde n [matemática] n [/ matemática] es el número de dígitos repetidos. Estamos buscando una repetición que sea un cuadrado perfecto, por lo que la raíz cuadrada debe tener como máximo n [math] n [/ math] dígitos. Esto implica que los factores primos de 10n + 1 [matemática] 10n + 1 [/ matemática] tienen un primo al cuadrado.

El primer número es

1011 + 1 = 112 × 23 × 4.093 × 8.779 [matemática] 1011 + 1 = 112 × 23 × 4.093 × 8.779 [/ matemática]

Como resultado, podemos obtener un cuadrado perfecto si multiplicamos cualquiera de 12 [matemática] 12 [/ matemática] por 102 [matemática] 102 [/ matemática] por

23 × 4.093 × 8.779 = 826.446.281 [matemáticas] 23 × 4.093 × 8.779 = 826.446.281 [/ matemáticas]

Entonces, la repetición más pequeña que es un cuadrado perfecto es creada por 42 = 16 [matemática] 42 = 16 [/ matemática] veces este número (para obtener 11 dígitos repetidos)

repetir (13,223,140,496) [matemáticas] repetir (13,223,140,496) [/ matemáticas]

= 1.322.314.049.613.223.140.496 [matemática] = 1.322.314.049.613.223.140.496 [/ matemática]

= (4 × 11 × 23 × 4,093 × 8,779) 2 [matemáticas] = (4 × 11 × 23 × 4,093 × 8,779) 2 [/ matemáticas]

= (36,363,636,364) 2 [matemáticas] = (36,363,636,364) 2 [/ matemáticas]

Otro factor al cuadrado primo ocurre en 10243 + 1 [matemática] 10243 + 1 [/ matemática] que tiene un factor de 4872 [matemática] 4872 [/ matemática] así que no veo ninguna razón por la cual no habría un número infinito de repeticiones cuadradas perfectas , pero no tengo una prueba a mano …

Answer 4

En decimal, los más pequeños son los primeros 10 múltiplos de 9090909091, p. Ej.

13223140496 13223140496 = 36363636364 ^ 2

En otras bases, hay otras mucho más pequeñas, como en la base 18, donde algo así como 7 4 ^ 2 = 2 16 2 16.

Base 68 es el único ejemplo conocido que presenta un cuadrado de repetición triple de varios dígitos y un cubo de repetición. 2 49 2 49 = 13 41 ^ 2 y

34 52 45 ^ 2 = 17 53 17 53 17 53