Deje [math] A = \ {1,2,3, .., 10 \} [/ math] y [math] B = \ {1,2, …, 5 \} [/ math]. [matemática] f: A \ rightarrow B [/ matemática] es una función no decreciente. ¿Cuántas de esas funciones hay?

Answer 1

Escribe los valores de A: [matemáticas] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 [/ matemáticas]

Dado, [math] f [/ math] no es decreciente. Considere lo siguiente [matemática] f [/ matemática]:
[matemáticas] f (x) = \ begin {cases} x & \ text {if} 1 \ leq x \ leq 5 \\ 5 & \ text {if} 5 <x \ leq 10 \ end {cases} [/ math ]
Marcaremos los puntos donde f (x) aumenta con barras y daremos la representación de A como, [matemática] 1 \ mid 2 \ mid 3 \ mid 4 \ mid 5, 6, 7, 8, 9, 10 [/ matemática ]

Esto nos da los valores de A y una representación de f (x). ¿Esto te recuerda algo? (Sugerencia: estrellas y barras (combinatoria))

Por lo tanto, el número total de funciones no decrecientes es [matemática] {10 + 5 – 1 \ elegir 10} [/ matemática].

[Editar] Consulte el comentario de Vinod Chandrasekaran a continuación para comprender un poco más detallado cómo y por qué funcionan estas soluciones.

Answer 2

Elija [math] f (1) [/ math] de 5 maneras. [matemáticas] Sea f (1) = a_1 [/ matemáticas]. Si [math] f (2) = a_2 [/ math], entonces hay [math] (5 – a_1 + 1) [/ math] formas de elegir [math] a_2 [/ math] con a_1 que varía de 1 a 5 De esta manera, tenemos el número total de formas de elegir nuestras funciones como

[matemáticas] \ sum_ {a_1 = 1} ^ {5} \ sum_ {a_2 = 1} ^ {5 – a_1} \ dots \ sum_ {a_9 = 1} ^ {5 – a_1 – a_2 -… -a_8} (5 – a_1 – a_2 -… -a_8 – a_9 + 1) [/ math]

El problema es que no tengo idea de cómo evaluar esto 😀