Deje que [math] \ {a_i \} [/ math] sea una secuencia de enteros positivos, [math] a_i \ ne a_j [/ math] para todos [math] i \ ne j [/ math]. Si [matemática] 0 <c ck [/ matemática] ?

Answer 1

Probemos la siguiente afirmación equivalente (¿por qué?): Existe infinitamente un número entero positivo [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] \ max_ {i \ leq k} mcm (a_k, a_ {k + 1})> ck [/ matemáticas] (1).

Ahora suponga que esto no es cierto. Deje que [matemáticas] K [/ matemáticas] sea un número lo suficientemente grande como para que
[matemáticas] \ max_ {i \ leq K} mcm (a_K, a_ {K + 1}) \ leq cK [/ matemáticas] (*). Ahora considera
[matemáticas] a_1, a_2, \ ldots, a_ {2K} [/ matemáticas]. Debido a (*), [math] a_1, \ ldots, a_K \ leq cK [/ math].
Como todos estos números son distintos, hay al menos
[math] m = 2K – \ lfloor cK \ rfloor [/ math] números que son mayores que [math] cK [/ math]. Como [math] c K / 2 [/ math]. Estos números deben distribuirse entre [matemáticas] a_ {K + 1}, \ ldots, a_ {2K} [/ matemáticas]. Como [math] m> K / 2 [/ math], dos de ellos deben ser los dos siguientes, digamos [math] a_l, a_ {l + 1} [/ math]. Entonces [math] mcm (a_l, a_ {l + 1} \ geq 2 \ min (a_l, a_ {l + 1})> 2cK = c (2K) [/ math], una contradicción ya que estamos asumiendo (1 ) es incorrecto para [matemáticas] k> K [/ matemáticas]