Claro, como señala Austin Wu, siempre podemos encontrar un polinomio de grado N-1 para que coincida con N puntos de datos.
Obviamente, un polinomio de grado 1 no tiene tres ciclos como el que solicitó.
Pero muchos polinomios de grado 2 sí. En forma general [matemáticas] P (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]. Su condición de tres ciclos dice que [matemática] P (P (P (z))) = z [/ matemática] para algún número entero z, con [matemática] P (z) \ neq z [/ matemática]. Observé la caracterización de qué coeficientes tienen una [matemática] z [/ matemática] pero parece bastante peluda. Puede haber alguna interpretación geométrica que sea más natural.
Digamos que queremos P (2) = 3, P (3) = 5 y P (5) = 2. Entonces el sistema de ecuaciones para resolver es:
- Cómo demostrar que si [matemática] a (1) = \ sqrt {2} [/ matemática], [matemática] a (n + 1) = \ sqrt {2 + a (n)} [/ matemática], entonces [ matemática] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 2 ^ {n + 1} \ sqrt {2-a (n)} = \ pi [/ math]
- ¿Divide 3 (3k + 1) (3k + 2) (3k + 3)?
- Cómo demostrar que [matemáticas] \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ cdots}}}}} = 2 [/ matemáticas]
- ¿Qué son los cuadrados mágicos?
- ¿Puede alguien darme una explicación detallada de lo que es un triplete de probabilidad como en (omega, F, P) en teoría de probabilidad?
[matemáticas] 4a + 2b + c = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9a + 3b + c = 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] 25a + 5b + c = 2 [/ matemáticas]
dando [matemáticas] a = – \ frac {7} {6}, b = \ frac {47} {6}, c = -8 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] P (x) = \ frac { -7x ^ 2 + 47x – 48} {6} [/ matemáticas]
Ahora, ¿podríamos llegar a un ciclo de cuatro usando solo un cuadrático, si elegimos nuestros números correctamente? Lo que debemos asegurar es que alguna fila de nuestro conjunto de ecuaciones lineales dependa de las otras tres. Pero eso significa que simultáneamente [matemática] M * x_0 ^ 2 + N * x_1 ^ 2 = x_2 ^ 2 [/ matemática] (el término ax ^ 2) y [matemática] M * x_0 + N * x_1 = x_2 [/ matemática ] (el término bx) y [matemáticas] M + N = 1 [/ matemáticas] (el término constante). Pero las soluciones a ese conjunto de ecuaciones son todas triviales. Esto sugiere que no es posible encontrar un ciclo de longitud 4 usando solo un polinomio cuadrático.