Deje que [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] sean 3 enteros distintos. ¿Existe un polinomio [matemáticas] P [/ matemáticas] que satisfaga las ecuaciones [matemáticas] P (a) = b, P (b) = c, P (c) = a [/ matemáticas]?

Claro, como señala Austin Wu, siempre podemos encontrar un polinomio de grado N-1 para que coincida con N puntos de datos.

Obviamente, un polinomio de grado 1 no tiene tres ciclos como el que solicitó.

Pero muchos polinomios de grado 2 sí. En forma general [matemáticas] P (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]. Su condición de tres ciclos dice que [matemática] P (P (P (z))) = z [/ matemática] para algún número entero z, con [matemática] P (z) \ neq z [/ matemática]. Observé la caracterización de qué coeficientes tienen una [matemática] z [/ matemática] pero parece bastante peluda. Puede haber alguna interpretación geométrica que sea más natural.

Digamos que queremos P (2) = 3, P (3) = 5 y P (5) = 2. Entonces el sistema de ecuaciones para resolver es:

[matemáticas] 4a + 2b + c = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9a + 3b + c = 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] 25a + 5b + c = 2 [/ matemáticas]

dando [matemáticas] a = – \ frac {7} {6}, b = \ frac {47} {6}, c = -8 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] P (x) = \ frac { -7x ^ 2 + 47x – 48} {6} [/ matemáticas]

Ahora, ¿podríamos llegar a un ciclo de cuatro usando solo un cuadrático, si elegimos nuestros números correctamente? Lo que debemos asegurar es que alguna fila de nuestro conjunto de ecuaciones lineales dependa de las otras tres. Pero eso significa que simultáneamente [matemática] M * x_0 ^ 2 + N * x_1 ^ 2 = x_2 ^ 2 [/ matemática] (el término ax ^ 2) y [matemática] M * x_0 + N * x_1 = x_2 [/ matemática ] (el término bx) y [matemáticas] M + N = 1 [/ matemáticas] (el término constante). Pero las soluciones a ese conjunto de ecuaciones son todas triviales. Esto sugiere que no es posible encontrar un ciclo de longitud 4 usando solo un polinomio cuadrático.

Seguro. Toma este:

[matemáticas] P (x) = \ dfrac {b (xb) (xc)} {(ab) (ac)} + \ dfrac {c (xa) (xc)} {(ba) (bc)} + \ dfrac {a (xa) (xb)} {(ca) (cb)}. [/matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] P \ in \ mathbf {Q} [x] [/ math], pero no hay [math] P \ in \ mathbf {Z} [x] [/ math], es decir, un polinomio con coeficientes enteros , con estas propiedades.

Damos una prueba similar a la de Uros Dinic.

Supongamos que existe [math] P \ in \ mathbf {Z} [x] [/ math].

Tenga en cuenta que [math] xa [/ math] divide [math] P (x) -b [/ math] ya que [math] P (a) = b [/ math].
Del mismo modo, [math] xb [/ math] divide [math] P (x) -c [/ math] y [math] xc [/ math] divide [math] P (x) -a [/ math].

Además [matemáticas] \ dfrac {P (x) -b} {xa}, \ dfrac {P (x) -c} {xb}, \ dfrac {P (x) -a} {xc} \ in \ mathbf { Z} [x] [/ matemáticas]. [De hecho, esta es una consecuencia fácil del lema de Gauss (polinomio), o se puede ver que se expande inmediatamente, por ejemplo, [matemáticas] P (xa + a) [/ matemáticas] en potencias de [matemáticas] xa [/ matemáticas] al usar teorema binomial.]

Conectar [matemática] x = b [/ matemática], [matemática] x = c [/ matemática] y [matemática] x = a [/ matemática] en [matemática] \ dfrac {P (x) -b} {xa} [/ math], [math] \ dfrac {P (x) -c} {xb} [/ math], [math] \ dfrac {P (x) -a} {xc} [/ math] respectivamente concluimos:

[matemática] ba [/ matemática] divide [matemática] cb [/ matemática], [matemática] cb [/ matemática] divide [matemática] ac [/ matemática] y [matemática] ac [/ matemática] divide [matemática] ba [/matemáticas].

Implica que [matemáticas] | ba | = | cb | = | ac | [/ matemáticas].

WLOG supone que [math] c \ geq a, c \ geq b [/ math].
Luego tenemos [math] \ dfrac {cb} {ca} = 1 [/ math] que implica [math] a = b [/ math]. Esto es una contradicción con [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​distintas.

A2A
Es posible que esté pensando en un polinomio con coeficientes enteros, aquí hay una prueba de que no hay solución, excepto [matemática] a = b = c [/ matemática]:

[matemática] b \ leq a, c \ leq a [/ math] WLOG
[matemáticas] ab | P (a) -P (b) \ implica ab | bc [/ math], de manera similar
[matemáticas] aC | ca [/ math]
[matemáticas] ca | ab [/ math]
[matemáticas] \ implica | ab | = | bc | = | ca | [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica ab = ac [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica b = c \ implica | ab | = 0 \ implica a = b = c [/ matemáticas]

Sin embargo [matemáticas] xy | P (x) -P (y) [/ math] no indica polinomios con coeficientes no enteros. [matemáticas] (a, b), (b, c), (c, a) [/ matemáticas] son ​​solo 3 puntos en un plano, que determinan de forma única un polinomio de segundo grado. También hay infinitos polinomios con un grado mayor que 2 que satisfacen la condición.

Para encontrar una solución de segundo grado solo necesita resolver este sistema de ecuaciones:

[matemáticas] xa ^ 2 + ya + z = b [/ matemáticas]
[matemáticas] xb ^ 2 + yb + z = c [/ matemáticas]
[matemáticas] xc ^ 2 + yc + z = a [/ matemáticas]

El enfoque de Austin es correcto pero no llega a una ecuación final.
Creo que es cierto para tres enteros distintos pero para a = 1 b = 2, c = 3
P (x) = (-3x ^ 2 + 11x-4) / 2
P (1) = (-3 + 11-4) / 2 = 2
P (2) = (-12 + 22 -4) / 2 = 3
P (3) = (-27 + 33 -4) / 2 = 1

._. ¿Por qué no?

De hecho, podemos encontrar un polinomio para cualquier conjunto de valores [matemática] P (x_i) = y_i [/ ​​matemática]

Simplemente resuelva el sistema de ecuaciones lineales para [matemáticas] a_1,…, a_n [/ matemáticas]:
[matemáticas] a_nx_i ^ n… + a_2x_i ^ 2 + a_1x_i + a_0 = y_i [/ ​​matemáticas] para todo i

Para este caso específicamente (modo matemático demasiado trabajo: P):

qa ^ 2 + ra + s = b
qb ^ 2 + rb + s = c
qc ^ 2 + rc + s = a

q (a ^ 2-b ^ 2) (ac) + r (ab) (ac) = (bc) (ac)
q (a ^ 2-c ^ 2) (ab) + r (ac) (ab) = (ba) (ab)

q ((a ^ 2-b ^ 2) (ac) – (a ^ 2-c ^ 2) (ab)) = (bc) (ac) – (ba) (ab)

q (a ^ 3-ca ^ 2-ab ^ 2 + cb ^ 2-a ^ 3 + ac ^ 2-bc ^ 2 + ba ^ 2) = ((bc) (ac) – (ba) (ab))

ya que (a ^ 3-ca ^ 2-ab ^ 2 + cb ^ 2-a ^ 3 + ac ^ 2-bc ^ 2 + ba ^ 2)! = 0 a menos que uno de los tres números sea igual (en cuyo caso Sería lineal, estás bien.

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