Considere la siguiente ecuación cuadrática, donde los cocientes se representan en un sistema numérico con base [math] r [/ math]. Si las raíces de la ecuación en la base [matemáticas] r [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 8 [/ matemáticas], entonces ¿cuál es el valor de [matemáticas] r [/ matemáticas] ( verifique la descripción a continuación para la ecuación)?

Answer 1

A2A
Primero describiría una forma genérica de resolver tales preguntas, y luego respondería la pregunta misma. Digamos que las raíces de su ecuación son [matemáticas] x_ {1} [/ matemáticas] y [matemáticas] x_ {2} [/ matemáticas]. Además, suponga que la ecuación en la base r es: [matemáticas] a x ^ {2} + bx + c = 0 [/ matemáticas].
Ahora, dado que queremos encontrar el valor de r en la base 10, queremos formular ecuaciones que serán verdaderas en la base 10 (y no en la base r). Estas ecuaciones son:
[matemáticas] x_ {1} [/ matemáticas] + [matemáticas] x_ {2} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {(-b) _ {10}} {(a) _ {10}} [/ matemáticas]

(es decir, suma de raíces = -b / a)
y
[matemáticas] x_ {1} [/ matemáticas] * [matemáticas] x_ {2} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {(c) _ {10}} {(a) _ {10}} [/ matemáticas ]
(es decir, producto de raíces = c / a)
Ahora, volvamos a nuestra pregunta. En nuestro caso,

[matemáticas] (a) _ {10} [/ matemáticas] = 5
[matemáticas] (-b) _ {10} [/ matemáticas] = [matemáticas] 5 * r [/ matemáticas]
[matemáticas] (c) _ {10} [/ matemáticas] = [matemáticas] r ^ {2} [/ matemáticas] + [matemáticas] 2 * r [/ matemáticas] + 5
Entonces, las ecuaciones que obtenemos son:
[matemáticas] 8 + 5 [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {5 * r} {5} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] r = 13 [/ matemáticas].
También podemos verificar el resultado de la segunda ecuación:

[matemáticas] 8 [/ matemáticas] * [matemáticas] 5 [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {r ^ {2} + 2 * r + 5} {5} [/ matemáticas]
Ahora, la ecuación anterior está en la base 10 y se puede resolver directamente usando el método Discriminante.
Al resolver, obtenemos r = [matemáticas] \ frac {-2 + \ sqrt {4 + 780}} {2} [/ matemáticas].
[math] \ Rightarrow [/ math] r = [math] \ frac {-2 + 28} {2} [/ math]
[math] \ Rightarrow [/ math] r = 13.
Nota: Dejé intencionalmente el otro caso ya que la base no puede ser negativa.
Ahora, reflexionemos sobre nuestros resultados. Aunque solo tenemos 2 ecuaciones para resolver (de la suma y el producto de las raíces), estas pueden tener exactamente una solución o ninguna solución o más de una solución en función del grado de las ecuaciones que obtenemos. Los grados, obviamente, dependen del número de dígitos en a, byc. Aquí c tenía 3 dígitos, por lo que el grado más alto en cualquier ecuación que observamos fue 2.

Answer 2

La ecuación en la base r es [matemática] 5x ^ 2 – 50x + 125 [/ matemática]. El equivalente en base 10 será
[matemáticas] P (x) = 5x ^ 2 – 5rx + r ^ 2 + 2r + 5 [/ matemáticas]
Las raíces equivalentes en la base 10 son 5 y 8. P (x) en las raíces es cero. Entonces obtenemos dos ecuaciones
[matemáticas] r ^ 2 – 23r + 130 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] r ^ 2 – 38r + 325 = 0 [/ matemáticas]
Los valores para r 10 y 13 de la primera ecuación, y 13 y 25 de la segunda ecuación. Como r debería satisfacer a ambos, por lo tanto, r es 13.

Answer 3

Primero, observe que los números de un solo dígito son representaciones idénticas en base-r y base 10.

La suma de las raíces en la aritmética base-r es [matemática] \ frac {(50) _r} {5} = r [/ matemática] (en base 10).

Tenemos [matemáticas] r = 5 + 8 = 13 [/ matemáticas].