¿Cómo se puede probar que para cualquier [matemática] a, a> 1 [/ matemática] real para la secuencia [matemática] u_n [/ matemática] definida por [matemática] u_ {n + 1} = \ sqrt [a] {a \ times u_n} [/ math] that [math] \ lim_ {n \ to \ infty} u_n = \ sqrt [a-1] {a} [/ math]?

Answer 1

Reclamación: [math] u_n> u_ {n-1}, \ forall n [/ math]
Prueba: [matemáticas] u_1 = \ sqrt [a] {a \ sqrt [a] {a}}> \ sqrt [a] {a} = u_0 [/ matemáticas].
Suponga que verdadero para [matemáticas] n = k [/ matemáticas], luego para [matemáticas] n = k + 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] u_ {k + 1} = \ sqrt [a] {a u_k}> \ sqrt [a] {a u_ {k-1}} = u_k [/ matemáticas].
Así demostrado.

Reclamación: [math] u_n \ leq \ sqrt [a-1] {a}, \ forall n [/ math]
Prueba: [math] u_0 = \ sqrt [a] {a} \ leq \ sqrt [a-1] {a} [/ math].
Suponga que verdadero para [matemáticas] n = k [/ matemáticas], luego para [matemáticas] n = k + 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] u_ {k + 1} = \ sqrt [a] {a u_k} \ leq \ sqrt [a] {a \ sqrt [a – 1] {a}} = \ sqrt [a- 1] {a} [/matemáticas].
Así demostrado.

De las afirmaciones anteriores, sabemos que la secuencia aumenta y está limitada por arriba, por lo tanto, la secuencia converge y existe el límite. Ahora,
[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} u_n = a ^ {\ frac {1} {a} + \ frac {1} {a ^ 2} + \ cdots} = [/ matemáticas] [matemáticas] a ^ {\ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {a ^ i}} = a ^ {\ frac {1 / a} {1 – (1 / a)}} = \ sqrt [a -1] {a} [/ matemáticas].

Answer 2

Supongamos que [math] \ lim_ {n \ to \ infty} {u_ {n}} [/ math] converge a un valor distinto de cero y es igual a [math] U [/ math].

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} {u_ {n + 1}} = \ lim_ {n \ to \ infty} {\ sqrt [a] {a \ times u_ {n}}} [/ math]
[matemáticas] U = \ sqrt [a] {\ lim_ {n \ to \ infty} {a \ times u_ {n}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] U = \ sqrt [a] {a \ times \ lim_ {n \ to \ infty} {u_ {n}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] U = \ sqrt [a] {a \ veces U} [/ matemáticas]

[matemáticas] U ^ {a} = a \ veces U [/ matemáticas]

[matemáticas] U ^ {a-1} = a [/ matemáticas]

[matemáticas] U = \ sqrt [a-1] {a} [/ matemáticas]