Cómo demostrar que el único par de enteros positivos que satisface a + b = ab es (2,2)

Answer 1

Este es un problema simple pero interesante, ya que al final dará un dato matemático útil.
Primero podemos resolver la ecuación para cualquiera de a y b. Estoy haciendo esto aquí por un.
a + b = ab
ab-a = b
a = b / (b-1)
Ahora explotamos el hecho de que ayb son positivos. Como a es positivo que b / (b-1) también debe ser positivo. Por lo tanto, verificamos qué valores de b, b / (b-1) son positivos (tenga en cuenta que no estoy considerando el dominio de a y b aquí por ahora).

Entonces b / (b-1) o a es positivo para los valores de b que se muestran en la figura. Pero como b es positivo, descuidamos todos los valores negativos. También descuidamos 1 porque da un resultado no definido para a (ahora estoy considerando los dominios de a y b). Además, solo consideraremos valores enteros de b.

Ahora es el momento de usar el hecho de que tanto a como b son enteros. a puede ser entero si b / (b-1) es entero. Esto solo es posible si b = 2. Si no me cree (lo cual estoy seguro de que no), entonces esta es su prueba:
Suponga que x y x + 1 son dos enteros consecutivos positivos. Entonces
(x + 1) / x = 1 + (1 / x)
Para que (x + 1) / x sea un entero 1 / x también debería ser un entero y la única forma posible de hacer 1 / x un entero es tomar x = 1 (ya supusimos que x es un entero, no podemos tomar x = 1 / y donde y es entero).
Entonces x + 1 = 1 + 1 = 2.

Por lo tanto, la división de dos enteros consecutivos positivos (mayor / menor) es entero solo si mayor = 2 y menor = 1, es decir (1,2) (el hecho sobre el que he hablado en la parte superior de la pregunta) .

Ahora ya que b = 2, entonces a = 2 / (2-1) = 2.
Entonces, el único par de enteros positivos que satisface a + b = ab es (2,2).
Espero que esto te ayude.

Answer 2

El método más limpio es utilizar el truco de factorización favorito de Simon, como se conoce en http://artofproblemsolving.com/w… . Esto generalmente se puede usar para factorizar y resolver cualquier expresión de la forma ab + ja + kb = c sobre los enteros. En este caso, específicamente, tenemos (a-1) (b-1) = 1, que claramente solo tiene soluciones 0,0 y 2,2 sobre los enteros, ya que cada término del producto también debe ser un entero.

Answer 3

Reescribir como (a-1) * (b-1) = 1
=> (a-1) = 1 / (b-1) o (b-1) = 1 / (a-1)
Ahora, como a, b son enteros positivos (b-1) o (a-1) debe ser igual a 1 (los términos en denominadores) (1 / x1 = x2 ==> x1 debe ser 1 <=> x2 debe ser 1 para x1, x2 perteneciente a un conjunto de enteros positivos).
=> a = b = 2

Answer 4

1. si a = b entonces a = b = 2
2. si a> b, dado que a + b = ab
(1) si b = 1, la ecuación se rompe
(2) si b> = 2, entonces ab> = 2a> a + b, la ecuación se rompe
entonces a no puede ser mayor que b
3. asimismo, b> a no puede ser cierto

En resumen, a = b = 2