p es un número primo, y [matemática] p [/ matemática] divide el coeficiente binomial [matemática] 2n \ elija n [/ matemática] para [matemática] n> 2 [/ matemática]. ¿Es [matemáticas] p> 2n [/ matemáticas] y por qué? ¿Cómo lo pruebas?

Answer 1

Deje que [math] p [/ math] sea primo y que [math] m [/ math] sea un entero positivo. Denote por [math] e_p (m) [/ math] la potencia más alta de [math] p [/ math] que divide [math] m [/ math].

Hay un resultado bien conocido, generalmente acreditado a de Polignac , que da una fórmula para [math] e_p (n!) [/ ​​Math]:

[matemáticas] e_p (n!) = \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} \ left \ lfloor \ frac {n} {p ^ k} \ right \ rfloor [/ math]. … (1)

Como [math] N = [/ math] [math] {2n \ choose n} = \ frac {(2n)!} {(N!) ^ 2} [/ math], la fórmula de Polignac dada por la ecuación. (1) implica

[matemáticas] e_p (N) = \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} \ left (\ left \ lfloor \ frac {2n} {p ^ k} \ right \ rfloor – 2 \ left \ lfloor \ frac {n} {p ^ k} \ right \ rfloor \ right) [/ math]. … (2)

Para que [matemática] p [/ matemática] divida [matemática] N = {2n \ elija n} = \ frac {(2n) (2n-1) (2n-2) \ cdots (n + 1)} {n !} [/ math], es necesario que [math] p [/ math] divida al menos uno de los términos en el numerador. Por lo tanto, ningún primo [matemático] p> 2n [/ matemático] puede dividir [matemático] N [/ matemático].

Para investigar más a fondo, para primos [matemática] p \ le 2n [/ matemática], primero observamos que [matemática] e_p (N) [/ matemática] es la diferencia entre la potencia más alta de p dividiendo el producto de n enteros consecutivos [ math] (2n) (2n-1) (2n-2) \ cdots (n + 1) [/ math] y la potencia más alta de [math] p [/ math] dividiendo [math] n! [/ math]. Observamos esta diferencia en el caso restante, cuando [math] p \ le 2n [/ math].

Como [math] \ lfloor 2x \ rfloor – 2 \ lfloor x \ rfloor = 0 [/ math] o [math] 1 [/ math] para cada número real [math] x [/ math], tenemos

[matemáticas] 0 \ le \ left \ lfloor \ frac {2n} {p ^ k} \ right \ rfloor – 2 \ left \ lfloor \ frac {n} {p ^ k} \ right \ rfloor \ le 1 [/ math ]

para [math] k \ in \ {1,2,3, \ ldots \} [/ math]. Por otro lado, [math] \ left \ lfloor \ frac {2n} {p ^ k} \ right \ rfloor = 0 [/ math] para todos [math] k [/ math] tales [math] p ^ k> 2n [/ matemáticas]. Por lo tanto, la suma en la ecuación. (2)

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} \ left (\ left \ lfloor \ frac {2n} {p ^ k} \ right \ rfloor – 2 \ left \ lfloor \ frac {n} {p ^ k} \ right \ rfloor \ right) \ le r, [/ math]

donde [matemáticas] r = \ max \ {k: p ^ k \ le 2n \} [/ matemáticas].

En particular,

[matemática] e_p (N) \ le 1 [/ matemática] para [matemática] p> \ sqrt {2n} [/ matemática].

Suponga que [math] \ frac {2} {3} n <p \ le n [/ math]. Entonces

[matemáticas] p \ le n <2p \ le 2n <3p \ le 3n [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemática] p [/ matemática] no divide [matemática] N [/ matemática], ya que p aparece exactamente una vez en el producto [matemática] (n + 1) (n + 2) (n + 3) \ cdots ( 2n) [/ math] y también exactamente una vez en [math] n! [/ Math].

Para resumir,

[matemáticas] e_p (N) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ le \ frac {\ ln (2n)} {\ ln p} [/ math] if [matemáticas] p \ le \ sqrt {2n}; \\[/matemáticas]

[matemáticas] = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 1 [/ matemáticas] si [matemáticas] \ sqrt {2n} <p \ le \ frac {2} {3} n; \\[/matemáticas]

[matemáticas] = 0 [/ matemáticas] si [matemáticas] \ frac {2} {3} n <p \ le n; \\[/matemáticas]

[matemáticas] = 0 [/ matemáticas] si [matemáticas] p> 2n. [/matemáticas]

El caso que falta es cuando [math] p \ in [n, 2n] [/ math]. Un famoso teorema de Bertrand , probado por primera vez por Chebyshev , dice que siempre hay un primo entre [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] 2n [/ matemáticas]. De hecho, los resultados que mencioné son las observaciones de Erdos [matemático] de 15 [/ matemático] años que llevaron a su prueba del teorema de Bertrand :

[matemática] e_p (N) \ ge 1 [/ matemática] para [matemática] n <p \ le 2n [/ matemática].

Answer 2

p debe ser inferior a 2n. Considere la factorización prima de [math] \ binom {2n} {n} [/ math].

Sabemos que [matemáticas] \ binom {2n} {n} = \ frac {2n (2n – 1) (2n – 2) \ cdots (n + 2) (n + 1)} {n (n – 1) ( n-2) \ cdots (2) (1)} [/ math]. Por lo tanto, todos los factores primos de [math] \ binom {2n} {n} [/ math] serán menores que [math] 2n [/ math], por lo que no puede ser divisible por ningún primo [math] p> 2n [/matemáticas].

Answer 3

No, en realidad siempre será el caso que [math] p <2n [/ math] como el numerador de [math] \ binom {2n} {n} [/ math] contenga solo términos menores o iguales a [math] 2n [/ math] por lo que no puede incluir ningún factor primo mayor que [math] 2n [/ math].

Answer 4

Tal vez me falta algo, pero todos los números que multiplica para calcular (2n, n) son menores que 2n, por lo que p tiene que ser <2n.

Si quieres hacerlo formal, entonces probablemente tengas un teorema que dice:
P es primo, P | ab => P | a o P | si. Puedes alimentar esto en la inducción.