¿Cuál es una manera de mostrar que no hay enteros positivos n para los cuales [matemáticas] n ^ 4 + 2n ^ 3 + 2n ^ 2 + 2n + 1 [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto? ¿Hay algún número entero positivo n para el cual [matemáticas] n ^ 4 + n ^ 3 + n ^ 2 + n + 1 [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto?

Answer 1

Parte 1
Sea [matemática] N = n ^ 4 + 2n ^ 3 + 2n ^ 2 + 2n + 1 [/ matemática]
[matemáticas] N – (n ^ 2 + 2n + 1) <N <N + n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2 <N <n ^ 4 + 2n ^ 3 + 3n ^ 2 + 2n + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (n ^ 2 + n) ^ 2 <N <(n ^ 2 + n + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora N está entre el cuadrado y dos números consecutivos [matemática] n ^ 2 + n [/ matemática] y [matemática] n ^ 2 + n + 1 [/ matemática], por lo que no puede ser un cuadrado perfecto.

Parte 2
Sea [matemática] P = n ^ 4 + n ^ 3 + n ^ 2 + n + 1 [/ matemática]
Considere la cantidad [matemática] 4P [/ matemática] y haga lo siguiente

[matemáticas] 4P – (3n ^ 2 + 4n + 4) <4P <4P + 5n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4n ^ 4 + 4n ^ 3 + n ^ 2 <4P [/ matemáticas] [matemáticas] <4n ^ 4 + 4n ^ 3 + 9n ^ 2 + 4n + 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] (2n ^ 2 + n) ^ 2 <4P <(2n ^ 2 + n) ^ 2 + 4 (2n ^ 2 + n) + 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] (2n ^ 2 + n) ^ 2 <4P <(2n ^ 2 + n + 2) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora [matemática] 4P [/ matemática] se encuentra entre el cuadrado de los números [matemática] A [/ matemática] y [matemática] A + 2 [/ matemática] donde [matemática] A = 2n ^ 2 + n [/ matemática] y para que sea un cuadrado perfecto, debe ser igual al cuadrado de [matemáticas] A + 1 [/ matemáticas]. Entonces
[matemáticas] 4P = (A + 1) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 (n ^ 4 + n ^ 3 + n ^ 2 + n + 1) = (2n ^ 2 + n + 1) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 (n ^ 4 + n ^ 3 + n ^ 2 + n + 1) [/ matemáticas] [matemáticas] = 4n ^ 4 + 4n ^ 3 + 5n ^ 2 + 2n + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 (n ^ 2 + n + 1) = 5n ^ 2 + 2n + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ 2 – 2n – 3 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] n = -1, 3 [/ matemáticas]

Answer 2

n ^ 4 + 2n ^ 3 + 2n ^ 2 + 2n + 1 —- (a)
= (n ^ 2) (n + 1) ^ 2 + (n + 1) ^ 2
= ((n + 1) ^ 2) (n ^ 2 + 1)

Ahora supongamos que (a) es un cuadrado perfecto.
Entonces, sea (n + 1) ^ 2 = (k ^ 2) (n ^ 2 + 1)
k es cualquier número natural.
para k = 1, n = 0 (no es posible ya que n es natural)

Así k> = 2 —- (b)

=> (k ^ 2 – 1) n ^ 2 – 2n + (k ^ 2 – 1)
Ahora para que n sea real, discriminante (D)> = 0

D = 4 – 4 (k ^ 4 – 2k ^ 2 + 1)
= 4 (k ^ 2) (2-k ^ 2)
De (b), k> = 2 implica k ^ 2> = 4
Por lo tanto, D NUESTRA ASUNCIÓN ES INCORRECTA y para ningún valor de ‘n’, (a) puede ser un cuadrado perfecto.