Las muñecas rusas me ayudan a entender cualquier ecuación matemática que implique expresiones anidadas. Por ejemplo, radicales anidados infinitamente . Considere el número x representado por:
[matemáticas] x = \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2 +…}}}} [/ matemáticas]
Supongamos que queremos encontrar el valor decimal de x . Una observación clave es que tenemos una copia de x anidada dentro de sí misma:
[matemáticas] x = \ sqrt {2+ \ left (\ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2 +…}}} \ right)} [/ math]
[matemáticas] x = \ sqrt {2 + x} [/ matemáticas]
- ¿Cómo resolver la ecuación?
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- Tengo la impresión de que cualquier elemento de una ecuación matemática (relacionado con algún resultado físico) es igual a alguna función de ese resultado físico. En una ecuación como 1 / 2mv ^ 2, ¿a qué corresponde físicamente la cuadratura de la velocidad?
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Esto nos permite cuadrar ambos lados y resolver:
[matemáticas] x ^ 2 = 2 + x [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 – x – 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-2) (x + 1) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 2 \ quad \ text {o} \ quad x = -1 [/ matemáticas]
Dado que x no puede ser negativo (lo establecemos como un radical positivo cuando lo definimos por primera vez), rechazamos [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] y encontramos [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].
Por lo tanto,
[matemáticas] \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2 +…}}}} = 2 [/ matemáticas]
Si pensabas que era genial, intenta evaluar
[matemáticas] \ sqrt {1+ \ sqrt {1+ \ sqrt {1+ \ sqrt {1 +…}}}} [/ matemáticas]
usando la misma técnica que la anterior. Encontrarás que es igual a la proporción áurea (Phi).
Podríamos visualizar esto con muñecas anidadas. Supongamos que definimos una muñeca para representar una raíz cuadrada:
Entonces, por ejemplo, una muñeca con un 5 significaría [math] \ sqrt {5} [/ math].
Y una muñeca con un 16 significaría [matemáticas] \ sqrt {16} [/ matemáticas], es decir, 4.
Entonces, la expresión [math] \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2 +…}}}} [/ math] podría representarse por:
Al dibujarlo y ver las copias visuales de las muñecas, puedo hacer esa observación clave de que una copia de la expresión original está anidada dentro de sí misma.
Al hacer esta foto, me di cuenta de que las muñecas anidadas también son una buena ilustración de la recurrencia en la informática. Para obtener más información, consulte: ¿Cómo debo explicar la recursividad a un niño de 4 años? Una de las respuestas usa una imagen de muñecas anidadas.
Las muñecas anidadas también pueden ser útiles para pensar en series infinitas . Supongamos que quieres encontrar la suma de
[matemáticas] 1 + \ frac {1} {2} + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 3 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 4 +… [/ math]
Llamemos a la suma S:
[matemáticas] S = 1 + \ frac {1} {2} + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 3 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 4 +… [/ math]
Aunque puede que no sea visualmente obvio, tenemos una copia de S dentro de la suma. Factoriza un 1/2 de cada término después del primer término para ver esto más claramente.
[matemáticas] S = 1 + \ frac {1} {2} \ left (1 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 3 +… \ right) [/ math]
[matemática] S = 1 + \ frac {1} {2} \ izquierda (S \ derecha) [/ matemática]
Ahora podemos resolver para S:
[matemáticas] S – \ frac {1} {2} S = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {2} S = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] S = 2 [/ matemáticas]
Este es un ejemplo de una serie geométrica donde la razón común entre los términos es 1/2. Es decir, para obtener cualquier término de la serie, multiplicamos el término anterior por 1/2.
Podríamos usar la misma técnica para encontrar la suma de cualquier serie geométrica infinita cuya razón común sea entre -1 y 1.
En general, las muñecas anidadas tienden a ser una analogía aplicable para ecuaciones y formas con auto-similitud .
Ver: ¿Cuáles son algunas de las estructuras autosimilares más interesantes?