Si t = ax ^ 2 + bx, ¿cómo derivaría la ecuación para la aceleración?

Answer 1

Primero, diferencie la ecuación con respecto a [matemáticas] t [/ matemáticas]

(Tenga en cuenta que [math] x ‘= \ dfrac {dx} {dt} = velocidad [/ math] y

[matemáticas] x ” = \ dfrac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = aceleración [/ matemáticas])

[matemáticas] t = ax ^ 2 + bx [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = 2axx ‘+ bx’ [/ matemáticas]

Reorganizar la ecuación.

[matemáticas] x ‘= \ frac {1} {2ax + b} [/ matemáticas]

Diferenciar la ecuación.

[matemáticas] x ” = \ frac {-2ax ‘} {(2ax + b) ^ 2} [/ matemáticas]

Sustituir [matemáticas] x ‘[/ matemáticas].

[matemáticas] x ” = \ frac {-2a} {(2ax + b) ^ 3} [/ matemáticas]

Ahora, tenemos la aceleración en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas]. Para encontrarlo en términos de [math] t [/ math], necesitamos encontrar [math] x [/ math] en términos de [math] t [/ math] y sustituirlo en la ecuación.

[matemática] ax ^ 2 + bx-t = 0 [/ matemática]

[matemáticas] x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 + 4at}} {2a} [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] x ” = \ frac {-2a} {(2a (\ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 + 4at}} {2a}) + b) ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ” = \ frac {-2a} {(- b ± \ sqrt {b ^ 2 + 4at} + b) ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ” = ± \ frac {2a} {(b ^ 2 + 4at) ^ \ frac {3} {2}} [/ matemáticas]

Otra forma (más fácil) de hacer esto es que encontramos [matemáticas] x [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] t [/ matemáticas] y diferenciamos esa ecuación dos veces.

[matemáticas] x = \ frac {-b ± (b ^ 2 + 4at) ^ \ frac {1} {2}} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ‘= ± \ frac {\ frac {1} {2} (4a) (b ^ 2 + 4at) ^ {- \ frac {1} {2}}} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ‘= ± (b ^ 2 + 4at) ^ {- \ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ” = ± (- \ frac {1} {2}) (4a) (b ^ 2 + 4at) ^ {- \ frac {3} {2}} [/ matemáticas]

[matemática] x ” = ± (2a) (b ^ 2 + 4at) ^ {- \ frac {3} {2}} [/ matemática]

Llegaremos a la misma respuesta.

Answer 2

Resuelve la ecuación cuadrática y obtén los dos valores de x.

Ahora doble diferenciar las ecuaciones wrt a t para obtener la ecuación de aceleración.

Tendrás 2 relaciones, ahora aplica los otros parámetros del problema y decide cuál es el apropiado

Answer 3

En primer lugar, diferencie la ecuación con respecto al tiempo, obtendrá dx / dt, es decir, la velocidad.

dt / dt = d (ax ^ 2) / dt + d (bx) / dt

o, 1 = 2ax (dx / dt) + b (dx / dt);

o, 1 = (2ax + b) dx / dt;

0r dx / dt = 1 / (2ax + b)

entonces, velocidad v = dx / dt = (2ax + b) ^ – 1

ahora, aceleración = dv / dt = -1 (2ax + b) ^ – 2 (2a + 0);

o dv / dt = -2a / (2ax + b) ^ 2;

aquí la aceleración es la función de x, es decir, la posición de la partícula, por lo que la aceleración variará de posición a posición.

Answer 4

Diferenciar el tiempo de ecualización y reorganizar los términos que obtienes

dx / dt = 1 / (2ax + 1)

Nuevamente diferenciando el tiempo de wrt,

a = d ^ 2x / dt ^ 2 = – ((2ax + 1) ^ – 2) * (2adx / dt + 0)

Sustituya el valor de dx / dt de la primera ecuación a la segunda

a = – ((2ax + 1) ^ – 2) * 2a ((2ax + 1) ^ – 1)

a = -2a ((2ax + 1) ^ – 3)

a = -2a / (2ax + 1) ^ 3

Si se necesita a en términos de tiempo t, resuelva la ecuación cuadrática original para encontrar el valor de x y sustitúyala en el resultado anterior.

Answer 5

¿Qué es ‘t’, tiempo? ¿Qué es ‘a’, aceleración o una constante? ¿Qué es x, desplazamiento lineal? Si pudiera ser eso:

velocidad = dx / dt = 2ax + b, y

aceleración = d2x / dt2 = dv / dt = 2a