Comenzó con ondas de luz. A principios del siglo XX, los físicos se dieron cuenta de que una onda de luz está compuesta de partículas llamadas fotones. Si la onda de luz es una onda plana con longitud de onda [matemática] \ lambda [/ matemática] y frecuencia [matemática] \ omega [/ matemática], entonces los fotones tienen impulso
[matemáticas] p = \ frac {h} {\ lambda} = \ hbar k [/ matemáticas]
donde [matemáticas] k [/ matemáticas] es el número de onda, y una energía
[matemáticas] E = \ hbar \ omega = \ hbar ck [/ matemáticas]
Ahora, la forma de onda de una onda plana se puede escribir como
[matemáticas] \ phi (x, t) = A \ cos (kx – \ omega t + \ phi) [/ matemáticas]
donde [matemática] A [/ matemática] es la amplitud, [matemática] \ omega = ck [/ matemática] es la frecuencia y [matemática] \ phi [/ matemática] es la fase, [matemática] x [/ matemática] es la coordenada espacial y [math] t [/ math] la coordenada de tiempo. Mantendremos las cosas unidimensionales, pero es fácil de extender a tres dimensiones. Una forma más conveniente de describir una onda plana es en forma compleja,
[matemáticas] \ phi (x, t) = A e ^ {i (kx – \ omega t)} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] A [/ matemáticas] es la amplitud compleja que contiene la fase de la onda.
Entonces, ¿cómo podemos sacar el impulso del fotón de esta expresión? Simplemente tome la derivada con respecto a [math] x [/ math]:
[matemáticas] -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ phi (x, t) = \ hbar k A e ^ {i (kx – \ omega t)} = p \ phi (x, t )[/matemáticas]
Obviamente, la onda plana es un tipo muy particular de onda de luz. Pero, a partir del análisis de Fourier, encontramos que cualquier onda de luz puede escribirse como una combinación [matemática] [/ matemática] de estas ondas planas,
[matemáticas] f (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dk \ A (k) e ^ {i (kx – \ omega t)} [/ math]
No voy a demostrarlo, pero también encontrarás que el impulso promedio de la onda de luz se obtiene tomando el promedio de la derivada,
[matemáticas] \ int dx \ f ^ * (x, t) \ left (-i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ right) f (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dk \ \ hbar k \ A ^ * (k) A (k) = \ langle p \ rangle [/ math]
donde [math] f ^ * (x, t) [/ math] es el conjugado complejo de [math] f (x, t) [/ math].
¿Qué hay de la energía? Simplemente tome la derivada con respecto a [math] t [/ math]:
[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ phi (x, t) = \ hbar \ omega A e ^ {i (kx – \ omega t)} = E \ phi (x, t )[/matemáticas]
Y para una onda de luz más general, la energía promedio es
[matemáticas] \ langle E \ rangle = \ int dx \ f ^ * (x, t) \ left (i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ right) f (x, t) [/ math ]
Louis de Broglie se dio cuenta de que esta relación impulso-número de onda también debe aplicarse a la materia. Es decir, cada partícula tiene una “función de onda” [math] \ psi (x) [/ math] asociada y su momento se encuentra tomando la derivada de esta función de onda,
[matemáticas] p \ psi (x) = – i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ psi [/ matemáticas]
Sin embargo, para una función de onda general [matemática] \ psi (x) [/ matemática], el impulso no solo saldrá como una constante por la función de onda como mostramos para la onda de luz plana arriba. Entonces, en lugar de pensar en el momento como un número, simplemente lo identificamos como el operador [math] \ hat {p} = -i \ hbar \ partial / \ partial x [/ math]. El impulso promedio es el promedio de este operador,
[matemáticas] \ langle p \ rangle = \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ hat {p} \ psi (x, t) [/ math]
Continuando, la energía cinética no relativista de una partícula es
[matemáticas] T = \ frac {p ^ 2} {2m} [/ matemáticas]
Entonces, el operador de energía cinética es
[matemáticas] \ hat {T} = \ frac {\ hat {p} ^ 2} {2m} = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2 }[/matemáticas]
En la mecánica clásica, la evolución temporal de un sistema está determinada por la función hamiltoniana, que es la suma de las energías cinética y potencial,
[matemáticas] H (x, p) = \ frac {p ^ 2} {2m} + V (x) [/ matemáticas]
con [matemáticas] V (x) [/ matemáticas] es la energía potencial. Sin embargo, bajo la hipótesis de De Broglie, el hamiltoniano se convierte en el operador
[matemática] \ hat {H} = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x) [/ math]
utilizando el operador de energía cinética anterior. La energía promedio es entonces igual al promedio de este operador hamiltoniano,
[matemáticas] \ langle E \ rangle = \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ hat {H} \ psi (x, t) [/ math]
Sin embargo, en base a la relación energía-frecuencia que encontramos arriba para las ondas de luz, la energía promedio es también el promedio de la derivada del tiempo,
[matemáticas] \ langle E \ rangle = \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ left (i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ right) \ psi (x, t) [ /matemáticas]
Al equiparar estas dos relaciones para la energía, tenemos
[matemáticas] \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ left (i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} – \ hat {H} \ right) \ psi (x, t) = 0 [/ matemáticas]
Pero esta relación debe ser verdadera para cualquier dominio de integración y, por lo tanto, el integrando debe ser cero para todos [math] x [/ math],
[matemáticas] \ psi ^ * (x, t) \ left (i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} – \ hat {H} \ right) \ psi (x, t) = 0 [/ math ]
o, donde [math] \ psi ^ * (x, t) [/ math] no es cero,
[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi (x, t) = \ hat {H} \ psi (x, t) = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} \ psi (x, t) + V (x) \ psi (x, t) [/ math]
Esta es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Las soluciones a esta ecuación son las posibles funciones de onda de una partícula.