Su mejor apuesta es estimar la solución numéricamente. Si bien hay muchas técnicas numéricas avanzadas, le mostraré un enfoque simple de iteración de punto fijo.
Primero, un análisis …
Para cualquier [matemática] a [/ matemática], [matemática] x = 0 [/ matemática] es una solución obvia ya que [matemática] \ sinh 0 = 0 [/ matemática]. Por lo tanto, solo necesitamos considerar soluciones distintas de cero. Para tales soluciones, podemos escribir:
[matemáticas] \ frac {\ sinh x} x = a [/ matemáticas]
Observe que el lado izquierdo de la ecuación es una función par de [matemáticas] x [/ matemáticas] (porque tanto el numerador como el denominador son funciones impares). Eso significa que, para algunos [math] a [/ math], podemos encontrar una solución, [math] x [/ math], que [math] -x [/ math] también es una solución, por lo que ahora podemos restringir nuestra búsqueda solo de soluciones positivas (sabiendo que cualquier solución menor que cero debe ser negativa de una solución que sea positiva).
Luego, observe que [math] \ frac d {dx} \ frac {\ sinh x} x = \ frac {x \ cosh x – \ sinh x} {x ^ 2} [/ math]. Resulta que [math] \ forall x> 0 [/ math], [math] x> \ tanh x [/ math], y de este hecho, vemos que [math] x \ cosh x – \ sinh x> 0 [/ math] que a su vez implica que [math] \ frac d {dx} \ frac {\ sinh x} x> 0 [/ math] para [math] x> 0 [/ math]. Dado que el lado izquierdo de la ecuación aumenta para todos los positivos [matemática] x [/ matemática] y dado que la función es par, se deduce que la función [matemática] \ frac {\ sinh x} x [/ matemática] está acotada desde abajo por su límite como [matemáticas] x \ a 0 [/ matemáticas]. La regla de L’Hospital o cualquier otro enfoque nos dice que este límite es uno.
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Entonces, si queremos encontrar una solución positiva, hemos aprendido que dicha solución solo existirá para [matemáticas] a> 1 [/ matemáticas] (porque el lado izquierdo de la ecuación [matemáticas] \ frac {\ sinh x } x = a [/ math] siempre es mayor que uno para [math] x> 0 [/ math].
Finalmente, [math] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ sinh x} x = \ infty [/ math] (que también se desprende de L’Hospital o varios otros enfoques). Como para [matemática] x> 0 [/ matemática], la función de la izquierda es continua, ilimitada y siempre en aumento, se deduce que existe una solución positiva única para cualquier elección de [matemática] a> 1 [/ matemática].
Para resumir, hemos aprendido que:
- para cualquier [math] a \ in \ mathbb R [/ math], cero es una solución
- para cualquier [math] a \ le 1 [/ math], cero es la única solución
- para cualquier [matemática] a> 1 [/ matemática], hay alguna solución [matemática] x_a> 0 [/ matemática] y que [matemática] -x_a [/ matemática] también es una solución
Entonces, todo lo que nos queda por hacer es encontrar una solución positiva única en los casos en que [matemáticas] a> 1 [/ matemáticas]. Para hacer esto, usaremos un enfoque simple de iteración de punto fijo. La idea es simple. Supongamos que tenemos una ecuación de la forma [matemáticas] x = f (x) [/ matemáticas]. Entonces, por definición, cualquier solución es un punto fijo de [matemáticas] f [/ matemáticas]. Entonces resolver la ecuación es equivalente a encontrar un punto fijo.
Ahora, supongamos que formamos la siguiente secuencia:
[matemáticas] x_0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 = f (x_0) [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 = f (x_1) = f (f (x_0)) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
[matemáticas] x_n = f (x_ {n-1}) [/ matemáticas]
Observe que si [math] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = x \ in \ mathbb R [/ math] (es decir, el límite existe y es finito), entonces [math] x [/ math] es un punto fijo . Entonces ahora tenemos una estrategia para encontrar soluciones. Escribimos nuestra ecuación original en la forma [matemáticas] x = f (x) [/ matemáticas]. Luego hacemos una conjetura inicial [math] x_0 [/ math] y luego formamos la secuencia descrita anteriormente mediante la aplicación iterativa de [math] f [/ math]. Si la secuencia resultante converge, hemos encontrado nuestra solución.
Apliquemos el enfoque a su problema. El primer paso es escribir [math] \ sinh x = ax [/ math] en la forma [math] x = f (x) [/ math]. Hay dos formas obvias de hacer esto. Uno es [matemáticas] x = \ frac 1 a \ sinh x [/ matemáticas]. El otro enfoque es [math] x = \ text {asinh} (ax) [/ math]. Resulta que la secuencia convergerá a la solución cero si elegimos la primera representación, así que usaremos la segunda para aprender la nueva solución.
Usaré [math] a = 4 [/ math] como ejemplo, y haré la conjetura inicial [math] x_0 = 2 [/ math]. (El enfoque para este problema no es sensible a su suposición inicial, por lo que puede elegir cualquier número positivo y eventualmente llegar a la solución).
Entonces [matemáticas] x_1 = \ text {asinh} (4 \ cdot 2) \ aprox 2.77647 [/ matemáticas].
Siguiente [matemática] x_2 = \ text {asinh} (4 \ cdot 2.77647) \ aprox 3.10264 [/ matemática].
Finalmente, [math] x_ {10} = \ text {asinh} (4 \ cdot x_9) \ aprox 3.26378 [/ math].
Entonces, para todos los futuros [matemáticas] n> 10 [/ matemáticas], tenemos:
[matemáticas] x_n \ aprox 3.26379… [/ matemáticas]
Se tarda hasta [matemáticas] x_ {30} \ aprox 3.26379610154365 [/ matemáticas] para que la solución converja a la precisión de la máquina. (Se requirió el mismo número de iteraciones para alcanzar esta convergencia para cada una de las conjeturas iniciales [matemática] x_0 = 20 [/ matemática], [matemática] x_0 = 200 [/ matemática] y [matemática] x_0 = 2000 [/ matemática De hecho, el enfoque es bastante robusto para la elección de la suposición inicial para este problema, ya que converge en el mismo número de iteraciones en cuatro órdenes de magnitud en la suposición inicial).
Entonces, para [matemáticas] a = 4 [/ matemáticas], ahora tenemos las tres soluciones (de las cuales dos son aproximadas):
[matemáticas] x = 0, \ pm 3.26379610154365 [/ matemáticas]