¿Cuál es la ecuación de una tangente dibujada a la curva [matemática] y ^ 2-2x ^ 3-4y + 8 = 0 [/ matemática] desde el punto [matemática] (1,2)? [/ Matemática]

La ecuación dada puede reescribirse como y ^ 2-4y + 4 = 2x ^ 3-4. Es decir (y-2) ^ 2 = 2x ^ 3-4.

Por lo tanto, y puede escribirse como 2 + -√ (2x ^ 3-4). (+ – denota más o menos)

Diferenciar y con respecto a x para obtener dy / dx = 3x ^ 2 / √ (2x ^ 3-4).

Deje que el punto (x, y) sea la intersección de la curva y la tangente. Entonces la derivada en (x, y) es la pendiente de la línea. Por lo tanto, 3x ^ 2 / √ (2x ^ 3-4) = y-1 / x-2 como (1,2) se encuentra en la tangente.

Escribiendo y en términos de x y reorganizando, la ecuación obtenida es x ^ 3-5x ^ 2 + 4 = 0. Resolviendo para x, obtenemos x = 1, 2 + √2, 2-√2. Solo x = 2 + √2 da un valor válido de y. Encuentre este valor (aproximadamente 8.69) * y luego deduzca la ecuación de la línea que une (1,2) y (x, y).

Esto da la ecuación de la tangente.

* nota: Para obtener una expresión radical para y, debes denestar un radical. Esto significa que y tendrá la forma √ (a + b√2) donde se conocen ayb. Compare esto con c + d√2 y cuadrando ambos lados, encuentre c y d. Esto da una expresión regular como 2 + √2.

fx = -6x fx (1,2) = – 6 * 1 = 6

fy = 2y-4 fy (1,2) = 4–4 = 0

entonces la ecuación tangente es:

6 (x-1) +0 (y-2) = 0

6x-6 = 0

x = 1