Si la ecuación de un círculo es x ^ 2 + y ^ 2-4x-2ry + 2r-4 y la longitud de un punto dibujado tangente para el punto (-2, -3) es 3 unidades, ¿cómo podemos calcular r?

Answer 1

Una forma general de la ecuación de un círculo viene dada por [matemática] ax ^ 2 + por ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 [/ matemática]
Donde la coordenada central es [matemática] (- g, -f) [/ matemática] ([matemática] g [/ matemática] y [matemática] f [/ matemática] son ​​constantes junto con [matemática] a, b, c [/ matemáticas])

Por lo tanto, podemos encontrar el centro del círculo, que es [matemáticas] (2, r) [/ matemáticas].

Otra cosa es que el radio del círculo general del que estaba hablando primero, es que el radio de este círculo (llamémoslo [matemáticas] z [/ matemáticas]) viene dado por
[matemáticas] z = \ sqrt {g ^ 2 + f ^ 2-c} [/ matemáticas]

Con esto, obtenemos [math] z = \ sqrt {r ^ 2-2r + 8} [/ math]

Ahora, la tangente es perpendicular al radio. Si unimos el centro con el punto [matemática] (- 2, -3) [/ matemática], obtenemos un triángulo en ángulo recto.
Llamemos a la hipotenusa de este triángulo como [math] p [/ math]
Y [matemáticas] p = \ sqrt {(2 + 2) ^ 2 + (r + 3) ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] p = \ sqrt {16 + (r + 3) ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora, sabemos todo lo que necesitamos.
Usando el teorema de Pitágoras,

[matemáticas] p ^ 2 = z ^ 2 + 9 [/ matemáticas]
Usando esto obtenemos
[matemáticas] 16 + r ^ 2 + 9 + 6r = r ^ 2-2r + 8 + 9 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] r = -1 [/ matemáticas]

Answer 2

En círculos, la longitud de la tangente desde un punto (x1, y1) se da como (S11) ^ (1/2).
S11 se da como el valor que obtenemos cuando sustituimos el punto (x1, y1) en la ecuación circular.
Entonces S11 es (-2) ^ 2 + (- 3) ^ 2-4 * (- 2) -2 (r) (- 3) + 2 * r-4 que nos deja el valor,
17 + 8 * r.
Según las condiciones dadas en cuestión, la raíz cuadrada de S11 debe ser igual a 3.
Entonces (17 + 8 * r) ^ (1/2) = 3.
Cuadrando en ambos lados,
17 + 8 * r = 9.
Implica, 8 * r = -8,
r = -1.
Gracias

Answer 3

La longitud de la tangente desde un punto (x, y) hasta el círculo S = 0 es igual a √S ‘donde S’ es la ecuación obtenida al sustituir (x, y) en S = 0.

Entonces, al poner el punto (-2, -3) en la ecuación del círculo y tomar su raíz cuadrada, obtenemos

√ ((- 2) ^ 2 + (- 3) ^ 2-4 * (- 2) -2r * (- 3) + 2r-4) = 3
Simplificando esto obtenemos,
√8r + 17 = 3
Entonces
r = -1