Cómo resolver la siguiente ecuación para x [matemáticas] x ^ 2 + (\ frac {x} {x-1}) ^ 2 = 8 [/ matemáticas]

Answer 1

Gracias por el A2A.

Sí, uno puede resolver esta ecuación sin expandirla o transformarla. Sin embargo, mi solución no será mucho más simple que un cálculo directo.

Sin embargo, hagamos algunos cálculos mentales.

Primero note la simetría.

1) Si [math] a \ in \ mathbb {C} [/ math] es una solución de la ecuación anterior que [math] \ dfrac {a} {a-1} [/ math] también es una solución. Esto se debe a que [matemáticas] \ dfrac {\ frac {a} {a-1}} {\ frac {a} {a-1} -1} = a. [/ Matemáticas] Además, [matemáticas] a \ mapsto \ frac {a} {a-1} [/ math] permuta las raíces de la ecuación anterior preservando sus multiplicidades.

2) No es difícil de ver sin expandir la ecuación que se reduce a alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros del cuarto grado con el coeficiente principal [matemática] 1. [/ matemática] Significa que todo es racional (si tiene alguno) deben ser enteros. Entonces, por 1) si [math] a [/ math] es entero, [math] \ frac {a} {a-1} [/ math] es un número racional, por lo que también debe ser entero. Debido a que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] a-1 [/ matemáticas] no tienen divisores comunes no triviales, las únicas posibilidades son [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] a = 2. [/ matemáticas] Uno verifica directamente, el último es una solución.

Tenga en cuenta que [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] 0 [/ matemática] son ​​los únicos puntos fijos para [matemática] a \ mapsto \ frac {a} {a-1}. [/ Matemática]

Alternativamente, puede ver que [math] 2 [/ math] es la única raíz entera porque [math] x ^ 2 <8 [/ math] y, por lo tanto, solo hay cuatro posibilidades [math] 0, -1, \ pm 2 .[/matemáticas]

3) Después de factorizar [matemáticas] x-2 [/ matemáticas] obtendría una ecuación de grado [matemáticas] 3. [/ matemáticas]

Suponga que [math] 2 [/ math] no está entre sus raíces. Además, tiene tres raíces (en general complejas), posiblemente algunas de ellas repetidas. Pero si [math] b \ in \ mathbb {C} [/ math] es una raíz, [math] \ frac {b} {b-1} [/ math] también debe ser uno con la misma multiplicidad, y son diferente porque los únicos puntos fijos de [math] a \ mapsto \ frac {a} {a-1} [/ math] son ​​[math] 0 [/ math] y [math] 2 [/ math]. Por lo tanto, tiene un número par de raíces (contadas con multiplicidades). Esta contradicción muestra que [matemáticas] 2 [/ matemáticas] debe ser una raíz de la ecuación de grado [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y, por lo tanto, al menos una doble raíz de la ecuación original.

Alternativamente, puede verificar que [math] 2 [/ math] es una raíz doble observando que la expresión no cambia su signo cerca de ella. También puede calcular la derivada, pero es demasiado explícita para “matemática mental”.

4) Por 3) concluimos que el polinomio de factores de grado 4 como [matemática] (x-2) ^ 2 (xb) \ left (x – \ dfrac {b} {b-1} \ right) [/ math] para algunos [math] b \ in \ mathbb {C}. [/ math]

Por lo tanto, su coeficiente libre es igual al producto de las raíces, es decir, a [matemáticas] \ dfrac {4b ^ 2} {b-1}. [/ Matemáticas]

Por otro lado, al multiplicar (mentalmente) la ecuación original por [matemáticas] (x-1) ^ 2 [/ matemáticas], verá que el coeficiente libre es [matemáticas] -8 [/ matemáticas].

5) Comparando coeficientes libres obtienes [matemática] \ dfrac {b ^ 2} {b-1} = – 2 [/ matemática] o, de manera equivalente,

[matemáticas] b ^ 2 + 2b-2 = 0. [/ math] Resolviendo esta ecuación cuadrática obtienes [math] b = -1 \ pm \ sqrt {3}. [/ math]

Es posible que desee comprobar además que [math] b \ mapsto \ frac {b} {b-1} [/ math] permuta estas dos raíces como debe ser.

Answer 2

Esta ecuación es un poco desagradable debido al denominador [math] (x-1) ^ 2 [/ math]. Una forma de evitarlo es hacer la sustitución aparentemente inocua [math] y = x-1 [/ math]. Entonces [matemáticas] x = y + 1 [/ matemáticas] y

[matemática] (y + 1) ^ 2 + \ left (\ frac {y + 1} y \ right) ^ 2 = 8 \ iff y ^ 2 + 2y + 1 + 1 + \ frac2y + \ frac1 {y ^ 2} = 8 \ iff y ^ 2 + \ frac1 {y ^ 2} +2 \ left (y + \ frac1y \ right) -6 = 0 [/ math].

Esta última ecuación se puede resolver con un viejo truco: let [math] z = y + 1 / y [/ math], entonces [math] z ^ 2 = y ^ 2 + 1 / y ^ 2 + 2 \ iff y ^ 2 + 1 / y ^ 2 = z ^ 2-2 [/ matemáticas]. Entonces tenemos

[matemática] z ^ 2-2 + 2z-6 = 0 \ iff z ^ 2 + 2z-8 = 0 \ iff z = -4 [/ matemática] o [matemática] z = 2 [/ matemática].

Entonces puedes sustituir todo de nuevo:

[matemáticas] y + \ frac1y = 2 \ iff y = 1 \ iff x = 2 [/ matemáticas] (raíz doble)

o

[matemáticas] y + \ frac1y = -4 \ iff y = -2 \ pm \ sqrt3 \ iff x = -1 \ pm \ sqrt3 [/ matemáticas]

Y hemos terminado.

Answer 3

Aquí hay una forma de resolver esto:

1) [matemática] x ^ 2 + \ izquierda (\ frac {x} {x-1} \ derecha) ^ 2 = 8 [/ matemática]

Multiplica ambos lados por [matemáticas] {(x-1)} ^ {2} [/ matemáticas]

2) [matemáticas] x ^ 2 {(x-1)} ^ 2 + x ^ 2 = 8 {(x-1)} ^ {2} [/ matemáticas]

Multiplicar las [matemáticas] {(x-1)} ^ {2} [/ matemáticas]

3) [matemáticas] x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) + x ^ 2 = 8 (x ^ 2-2x + 1) [/ matemáticas]

4) [matemáticas] (x ^ 4-2x ^ 3 + x ^ 2) + x ^ 2 = 8x ^ 2-16x + 8 [/ matemáticas]

5) [matemáticas] x ^ 4-2x ^ 3 + 2x ^ 2 = 8x ^ 2-16x + 8 [/ matemáticas]

6) [matemáticas] x ^ 4-2x ^ 3-6x ^ 2 + 16x-8 = 0 [/ matemáticas]

Como descubrió que x = 2 es una solución, podemos factorizar (x-2) para obtener:

7) [matemáticas] (x-2) (x ^ 3-6x + 4) = 0 [/ matemáticas]

Dos también es una solución para el factor cúbico, así que factoriza (x-2) nuevamente a partir de él:

8) [matemáticas] (x-2) (x-2) (x ^ 2 + 2x-2) = 0 [/ matemáticas]

El factor cuadrático no se puede factorizar directamente, así que use la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática da las dos raíces: [matemáticas] x = -1 \ pm \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Entonces nuestro resultado final son las raíces:

x = 2 (que es una raíz doble) yx = [matemáticas] -1 \ pm \ sqrt {3} [/ matemáticas]