¿Puede haber algún método para obtener un valor exacto de x para [matemáticas] 2 ^ x + 3 ^ x = 25 [/ matemáticas]?

Answer 1

Existen varias técnicas para resolver esto utilizando métodos numéricos. Le mostraré uno, el método de Newton-Raphson para encontrar raíces:

Escribamos [matemática] 2 ^ x + 3 ^ x = 25 [/ matemática] en [matemática] 2 ^ x + 3 ^ x – 25 = 0 [/ matemática] y dejemos [matemática] f (x) = 2 ^ x + 3 ^ x – 25 [/ matemáticas]. Entonces, tenemos que encontrar un valor de [math] x [/ math] tal que [math] f (x) = 0 [/ math].

El método de Newton-Raphson establece que:

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ frac {f (x)} {f ‘(x)} [/ matemáticas]

Ahora, tenemos que encontrar [matemáticas] f ‘(x): [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} f (x) = 2 ^ x ln (2) + 3 ^ x ln (3) [/ matemáticas]

Comencemos con [matemáticas] x_0 = 2 [/ matemáticas] ya que [matemáticas] 2 ^ 2 + 3 ^ 2 = 4 + 9 = 13 25 [/ matemáticas], estamos seguros de que hay una raíz entre 2 y 3.

[math] x = [/mathfont>[mathfont>2.6638446360130033 [/ math] que es exacto a 16 dígitos decimales.

Answer 2

Una forma ingenua de abordar este problema es mediante la fuerza bruta de la solución. Pero, esto tomará una eternidad, con todos los valores x de x = 2 a x = 3 (2.00001,2.0002, …… 2.999999).

Sin embargo, podemos optimizar esto y utilizar un algoritmo llamado Binary Search. Esto normalmente se usa en algoritmos informáticos, pero podemos aplicarlo aquí en este problema. La idea aquí es que comenzamos con un límite grande (como 2 <= x <= 3) y lo hacemos más pequeño a la mitad cada vez que descubrimos un valor que es menor o mayor que el valor objetivo. Esto no dará una solución exacta, pero puede continuar reduciendo a la mitad la solución hasta que se acerque más y más a su solución (dependiendo de la precisión que desee).

¿Suena raro? ¿Qué tal si hacemos un ejemplo de esto usando este problema, 2 ^ x + 3 ^ x = 25.

Comience con 2 <= x <= 3 .

2 ^ 2 + 3 ^ 2 = 13 (menos de 25)

2 ^ 3 + 3 ^ 3 = 35 (mayor que 25)

Ahora, obtenemos el punto medio de los dos límites, 2 y 3. Para obtener esto, calculamos el promedio de ellos, que es (2 + 3) / 2 = 2.5.

2 ^ 2.5 + 3 ^ 2.5 = 16.9705627 (menos de 25)

Genial, el problema se reduce a 2.5 <= x <= 3, ya que x = 2.5 es menor que el objetivo. Otro punto medio, obtenemos 2,75.

2 ^ 2.75 + 3 ^ 2.75 = 27.2427348 (mayor que 25)

Dado que x = 2.75 fue mayor que nuestra solución objetivo, necesitamos reducir nuestra x de 2.5 <= x <= 2.75. El punto medio es 2.625.

2 ^ 2.625 + 3 ^ 2.625 = 24.0519634 (cada vez más cerca, ¡pero menos de 25!)

Podemos seguir reduciendo a la mitad el problema a medida que el resultado se acerca cada vez más a 25. Con 100 ciclos, x se convierte en el valor, ≈ 2.6638446360130033. (precisión de hasta 16 dígitos)

Para aquellos de ustedes programadores, he implementado un código de búsqueda binaria que resuelve para x (el código está disponible en https://repl.it/BcpG/2 ):

Answer 3

No parece que haya una manera de obtener un valor real exacto de [matemáticas] x [/ matemáticas] que satisfaga la ecuación dada mediante el uso de métodos matemáticos conocidos. Sin embargo, se pueden encontrar valores numéricos con una precisión creciente que comprenden grandes números de dígitos, y se puede encontrar un número algebraico que se aproxima a un valor numérico particular.

La solución valorada real de la ecuación [matemática] 2 ^ x + 3 ^ x = 25 [/ matemática] se puede encontrar con un CAS como Mathematica (con una precisión de dígitos [matemática] 55 [/ matemática]) escribiendo el codigo:

N [Resolver [2 ^ x + 3 ^ x == 25, x, Reales], 55]

El resultado o respuesta obtenida es:

[matemáticas] x \ aprox 2.663844636013003384060856539904694420856092278154611155 [/ matemáticas]

A continuación se muestra una gráfica de la solución como la intersección de las dos funciones [matemáticas] f (x) = 2 ^ x + 3 ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = 25 [/ matemáticas] (hecho con Mathematica):

Se puede obtener una aproximación cuadrática o un número algebraico que se aproxime al valor real de [matemática] x [/ matemática] (en este caso, con una precisión de [matemática] 55 [/ matemática]) utilizando la función incorporada de Mathematica RootApproximnt []

Escribiendo el código:

Raíz Aproximado [
2.663844636013003384060856539904694420856092278154611155, 2]

produce la siguiente aproximación cuadrática para [math] x [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2605056278786378639+ \ sqrt {3840003734601960923891577865944348001}} {1713556775874014866} [/ matemáticas]

Nadie ha mencionado en otras respuestas que también hay soluciones valiosas complejas para la ecuación dada. Los valores numéricos de estas soluciones se pueden encontrar utilizando la función incorporada de Mathematica FindInstance [] y escribiendo el código:

FindInstance [2 ^ x + 3 ^ x == 25, x, n]

donde [math] n [/ math] es el número de soluciones que uno quiere encontrar.

Como ejemplo, aquí hay cinco soluciones valiosas complejas:

[matemáticas] x \ aprox 3.17187954060502417731 + 1000.70629291350323469769i [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aproximadamente 3.04099289386586268867 + 428.68012770478737827392i [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aprox 2.72578154380846735389 – 354.41490781691936812885i [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aprox 2.67074027661025868319 – 806.46921764439251663553i [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aprox 3.16487601581330255777 + 331.87785792876417968881i [/ matemáticas]

Answer 4

Como se señaló en otra parte, depende de lo que quiera decir con valor exacto. ¿Es [math] \ sqrt {2} [/ math] el valor exacto del número cuyo cuadrado es 2? ¿Es [math] \ pi [/ math] el valor exacto de hmmm, [math] \ pi [/ math]? ¿O quiere decir “a un cierto número de lugares decimales” donde, supongo que “un cierto número” significa todos ellos. Si su respuesta a las 2 primeras consultas es sí, entonces el valor exacto es [math] x [/ math]. Si su significado es el último, entonces solo podemos producir la “respuesta exacta” si la “respuesta exacta” es racional. Si. por algún milagro, encontramos que x es [matemáticas] \ dfrac {e} {\ pi} [/ matemáticas], ¿sería esa la respuesta exacta? No lo sé. La respuesta se ha expresado en términos de representaciones bien conocidas.

Si x es irracional, y probablemente lo sea, entonces no hay forma de encontrar su valor exacto (como en todos los decimales.

Answer 5

¡Si! Podríamos tener que definir una nueva función para hacerlo.

Presumiblemente consideraría que una respuesta como [math] \ sqrt {3} [/ math] o [math] \ log 2 [/ math] es “exacta” de una manera en que una aproximación numérica no lo es. Pero estas opciones son hasta cierto punto arbitrarias: en realidad no es más fácil generar una cadena de dígitos para estas que para muchas otras posibles funciones “elementales”.

Entonces, veamos [matemáticas] 2 ^ x + 3 ^ x = 25 [/ matemáticas]. Sustituya en [matemáticas] x = \ log_2 y [/ matemáticas] y obtenemos

[matemáticas] y + 3 ^ {\ log_2 y} = 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] y + e ^ {(\ log 3 / \ log 2) \ log y} = 25 [/ matemáticas]

Ahora presentamos una nueva función [math] G (a, b) [/ math] tal que [math] G (a, b) + e ^ {a \ cdot \ log G (a, b)} = b [/ matemáticas]. Aquí tiene muchos ejemplos de cómo tal función podría calcularse numéricamente. Podemos definir la función “elemental” [matemática] SQRT (x) [/ matemática] de modo que [matemática] SQRT (x) * SQRT (x) = x [/ matemática] y la función “elemental” [matemática] LG ( x, b) [/ math] tal que [math] b ^ {LG (x, b)} = x [/ math], esta es solo otra entrada en nuestra colección de animales.

Por lo tanto, la solución exacta es

[matemáticas] x = \ log_2 (G (\ log 3 / \ log 2, 25)) [/ matemáticas]

Esta función “G” no parece tener muchas otras aplicaciones (es por eso que no hay una respuesta “preexistente” a sus preguntas). Es primo, quizás, de la función Lambert W, que puede usarse para expresar la forma [matemáticas] xe ^ x = y [/ matemáticas]. Podríamos hacer preguntas como: ¿G es analítico? ¿Podemos calcular su derivada o integral?

Tenga en cuenta que los valores enteros pequeños de la función G se calculan fácilmente (aunque para ser rigurosos deberíamos tener en cuenta que tiene varios valores, ya que implica un exponencial).

[matemática] G (2,20) [/ matemática] es la solución positiva para [matemática] z + e ^ {2 \ log z} = 20 = z + z ^ 2 [/ matemática], que es 4.

[matemática] G (3,25) [/ matemática] es la solución positiva (real) para [matemática] z + e ^ {3 \ log z} = 25 = z + z ^ 3 [/ matemática], que tiene un representación exacta melenuda en términos de radicales, pero es aproximadamente 2.8101.

Answer 6

Una comprobación rápida de Mathematica indica que la respuesta es un número irracional. A continuación lo calcula a [matemática] 10 ^ 5 [/ matemática] lugares decimales.

Estilo [N [Resolver [2 ^ x + 3 ^ x == 25, x, Reales], 10 ^ 5], 4]

Los siguientes dígitos son …

[matemáticas] 2.66384463601300338406085653990469442085609227815461115506035966782492 \ ldots [/ matemáticas]

Answer 7

Puede resolverlo numéricamente con precisión arbitraria, un programa de pocas líneas hará el trabajo. Por ejemplo, sabemos que la solución se encuentra en el intervalo [2, 3], escríbalo en la forma y = 2 ^ x + 3 ^ x – 25, evalúe los puntos finales del intervalo y ambos darán signos opuestos de y. Seleccione el punto medio del intervalo y evalúe nuevamente. Deseche el punto con el mismo signo de Y, repita.

¡Puede haber otras soluciones numéricas más inteligentes para esto!

Answer 8

Deje f (x) = 2 ^ x + 3 ^ x-25

f (2) = – 12

f (3) = 10

f (2) f (3) = – 120 <0

Por lo tanto, hay al menos un valor real de x que satisface f (x) = 0 entre 2 y 3. Utilice el método de bisección para hacer más aproximaciones para las raíces.

Answer 9

Es difícil encontrar un método “exacto”, pero una simple búsqueda de división binaria obtiene un dígito (decimal) más significativo cada 3 a 4 iteraciones, y alcanza la resolución máxima del punto flotante de mi computadora en 46 iteraciones (una pequeña fracción de segundo ), que debería ser lo suficientemente bueno para la mayoría de los propósitos prácticos.

Da 2.663844636013005 (aproximadamente).

Answer 10

Pides una respuesta exacta a la ecuación, pero ¿con qué grado de precisión quieres? El valor de x estará entre 2 y 3. Existen varios métodos numéricos que puede utilizar para centrarse en la solución para proporcionar la precisión que necesite, incluyendo prueba y error. He intentado x = 2.6 pero no es lo suficientemente grande, ya que produce alrededor de 23, pero no está muy lejos. x = 2,65 rendimientos

2 ^ 2.65 + 3 ^ 2.65 = 24.65776547. Poner x = 2.655 rendimientos

2 ^ 2.655 + 3 ^ 2.655 = 24.78080279, que está más cerca. Prueba 2.66 para dar:

2 ^ 2.66 + 3 ^ 2.66 = 24.90447345, que aún está más cerca. Prueba x = 2.667:

2 ^ 2.667 + 3 ^ 2.667 = 25.07868273

Claramente, x = 2.667 es una pequeña cantidad demasiado grande, por lo que el siguiente paso es probar 2.666 y así sucesivamente hasta que tenga el grado de precisión requerido de x.

Answer 11

Como señala Donnie Celestre, puedes acercarte lo que quieras.

Sin embargo, mi intuición es que no existe una solución numérica exacta, es decir, x debe ser irracional. Incluso podría ser que tiene que ser trascendental. Pero probar eso está mucho más allá de mis habilidades.