Cómo encontrar la ecuación para esta función cuártica

Answer 1

Sabemos algunas cosas al respecto. Tiene raíces en 2 y -3. Lo que es más, ambos son máximos, así que [matemática] f (2) = 0 [/ matemática] y [matemática] f ‘(x) = 0 [/ matemática]. Esto significa que tiene una raíz repetida y el cuarto es de la forma [matemática] a (x-2) ^ 2 (x + 3) ^ 2 [/ matemática]. (Esto usa el teorema del Factor, y un poco más). Podemos evaluarlo en -1 dando [matemáticas] f (-1) = -2 [/ matemáticas]. Entonces a [matemáticas] (- 1-2) ^ 2 (-1 + 3) ^ 2 = a 9 * 4 = -2 [/ matemáticas]. Entonces a = -1/18 y la función completa es

[matemáticas] – \ frac1 {18} (x-2) ^ 2 (x + 3) ^ 2. [/ matemáticas]

—-

Para el bit sobre [math] f (u) = 0 [/ math] y [math] f ‘(u) = 0 [/ math] lo que implica que tiene raíces repetidas en u asume que f tiene la forma [math] (xu ) g (x) [/ matemáticas]. Diferenciar [matemáticas] \ frac {df} {dx} = g (x) + (xa) g ‘(x) [/ matemáticas]. En [matemática] x = u [/ matemática] esto se convierte en [matemática] g (u) + (uu) g ‘(u) [/ matemática] entonces [matemática] f’ (u) = 0 [/ matemática] implica [ matemáticas] g (u) = 0 [/ matemáticas]. Aplicar el teorema del factor a [matemática] g (u) [/ matemática] significa [matemática] g (x) = (xu) h (x) [/ matemática] y [matemática] f (x) = (xu) ^ 2 h (x) [/ matemáticas].

Answer 2

Para comenzar, su ecuación debe contener (x + 3) (x-2). Esto se debe a que las dos raíces son -3 y 2. Además, observe que el comportamiento (positividad, negatividad) de estas dos raíces es el mismo en ambos lados de las raíces. Por lo tanto, cada raíz tiene una multiplicidad de 2.

Por lo tanto (x + 3) (x + 3) (x-2) (x-2) es lo que tenemos hasta ahora.

El gráfico de la función está orientado hacia abajo, por lo que debe haber un signo menos adjunto al frente.

Por lo tanto, continuamos con – (x + 3) (x + 3) (x-2) (x-2).

Una última nota, el punto x = -1 debe ser igual a -2, pero nuestra ecuación en progreso dice que el valor y correspondiente para x = -1 es -36, por lo que dividimos nuestra ecuación por 18.

Por lo tanto, su ecuación debería resultar en – (1/18) (x + 3) (x + 3) (x-2) (x-2).

Answer 3

* Dado que el gráfico disminuye tanto a la izquierda como a la derecha, el coeficiente principal debe ser negativo

* Hay dos ceros reales distintos, -3 y 2. Los polinomios de cuarto grado tienen un total de cuatro ceros, ya sean reales o complejos cuando se tiene en cuenta la multiplicidad. Dado que el gráfico no cruza el eje x en -3 o 2, estos no pueden tener una multiplicidad impar: con el límite de cuatro ceros en total, puede concluir que cada uno tiene multiplicidad 2. Esto significa que el polinomio parece

[matemáticas] p (x) = a \ left (x + 3 \ right) ^ 2 \ left (x-2 \ right) ^ 2 [/ math]

para algún número negativo a (para el coeficiente principal). Usa el hecho de que p (-1) = -2 para encontrar ese coeficiente.

Answer 4

Hay un cero de orden 2 en -3 y +2, así que de inmediato sabes que la ecuación es y = k * (x + 3) ^ 2 * (x-2) ^ 2 ahora tienes que encontrar k, Para hacerlo, debe conectar las coordenadas del punto en el gráfico que se le dio (x = -1 e y = -2)

-2 = k * (-1 + 3) ^ 2 * (-1-2) ^ 2

-2 = k * (2) ^ 2 * (-3) ^ 2

-2 = k * 4 * 9

-2 = k * 36

-2/36 = k

-1/18 = k

Por lo tanto, la ecuación para su función es y = – (1/18) * (x + 3) ^ 2 * (x-2) ^ 2

Answer 5

Pruebe la función y = – (x + 3) ^ 2 * (x-2) ^ 2/18. Tiene ceros dobles en x = -3 y en x = +2 y, si lo escalo correctamente, se evalúa a -2 en x = -1.