¿Qué significa la sumatoria ([matemáticas] \ suma [/ matemáticas])? ¿Cómo se leen ecuaciones con una?

Answer 1

“Suma” se refiere a tomar la “suma” de un montón de cosas (sumarlas). Es una notación muy útil para escribir sumas grandes de manera muy compacta.

Comencemos con un ejemplo simple:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ 6 3 n ^ 2 [/ matemáticas].

Podemos mirar debajo y arriba del símbolo de suma, y ​​ver que estamos sumando sobre una variable [math] n [/ math], que comienza en 1 y sube a 6. Cada término en la suma (es decir, cada uno de los cosas que estamos sumando) es [matemáticas] 3n ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces, si escribiéramos esto explícitamente, obtendríamos

[matemáticas] 3 (1) ^ 2 + 3 (2) ^ 2 + 3 (3) ^ 2 + 3 (4) ^ 2 + 3 (5) ^ 2 + 3 (6) ^ 2 = 3 + 12 + 27 + 48 + 75 + 108 [/ matemáticas],

que es 273. La notación de suma es agradable aquí porque te dice algo sobre los números que estás sumando (siguen un patrón específico), y se vuelve realmente útil cuando tienes que lidiar con sumar un montón de cosas. O, incluso, un número desconocido de cosas! Esto sería difícil, si no imposible, de expresar usando la notación de adición regular.

Por ejemplo, supongamos que desea sumar un conjunto de números (todavía no sabe cuántos), y que cada número es un tercio del anterior. Si el primer número es [math] a [/ math], y queremos que haya un número desconocido [math] N [/ math] de términos en la suma, podemos escribir esto como

[matemáticas] \ displaystyle S = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} a \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ {n} [/ math].

Si no está convencido de que esto sea cierto, pruébelo: elija números para [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] N [/ matemáticas], y amplíe la suma como lo hice anteriormente. Tenga en cuenta lo compacto que es esto? Bien, verdad? Pero, ¡se pone aún mejor que eso! También podemos aplicar álgebra a la suma en esta notación, aplicando todas las reglas habituales. Por ejemplo, para multiplicar una suma por una constante, simplemente multiplica cada término de esa suma por esa misma constante:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3} S = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} a \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ {n + 1} [ /matemáticas].

Entonces podemos ser un poco complicados, y tenga en cuenta que podemos reescribir esto como

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {3} S = \ sum_ {n = 1} ^ N a \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ n [/ math].

(¿No estás convencido? ¡Pruébalo! ¿Puedes explicar por qué funciona?)

Finalmente, podemos restar esto de nuestra ecuación original para [matemáticas] S [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que casi todos los términos en las dos sumas son exactamente iguales : la única diferencia es que [matemáticas] S [/ matemáticas] incluye un término para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], mientras que [matemáticas] \ tfrac {1} {3} S [/ math] incluye un término para [math] n = N [/ math] en su lugar. Entonces, cuando los restamos, esos son los únicos dos que no se cancelan:

[matemáticas] S – \ tfrac {1} {3} S = a \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ 0 – a \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ N [/matemáticas].

Simplificando esto,

[matemáticas] \ frac {2} {3} S = a \ left (1 – \ frac {1} {3 ^ N} \ right) [/ math]

[matemáticas] S = \ frac {3a} {2} \ izquierda (1 – \ frac {1} {3 ^ N} \ derecha). [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que acabamos de encontrar una ecuación para la suma total, ¡ sin siquiera tener que saber de antemano cuántos números estábamos sumando! Incluso podríamos hacer que [matemática] N [/ matemática] sea infinitamente grande, y simplemente obtener [matemática] S = 3a / 2 [/ matemática].

Esto, por supuesto, es solo un ejemplo. Hay muchas situaciones en las que la notación de suma es útil.

Answer 2

Por lo general, una expresión que involucra la suma viene en una forma como esta [math] \ sum_ {n = l} ^ {n = u} f (n) [/ math] donde [math] f: \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {C} \ quad [/ math] es decir, una función del anillo de enteros al campo de números complejos, [math] l, u \ in [/ math] [math] \ mathbb {Z} \ quad [/ math] y [matemáticas] l \ leq u [/ matemáticas].

Básicamente, en la expresión de suma, tiene una función que toma diferentes valores para diferentes enteros, y también dos enteros diferentes. Para calcular la suma anterior, tome los valores de la función para todos los enteros desde el más pequeño [matemático] l \ quad [/ matemático] (llamado límite inferior) al más grande [matemático] u \ quad [/ matemático] (El límite superior). Luego agrega todos esos valores.

Por ejemplo, cuando [matemáticas] f (n) = n ^ 2 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {n = 10} n ^ 2 \ equiv 1 ^ 2 + 2 ^ 2 \ cdots + 10 ^ 2 [/ math].

Una notación similar es [math] \ prod_ {n = l} ^ {n = u} f (n) [/ math] que da el producto de los valores de la función dentro de los límites.

Answer 3

El símbolo de suma representa la suma de varios números que siguen algún patrón. Cuando agregamos solo dos o tres números, se puede usar el símbolo “+” ordinario, pero [math] \ sum [/ math] es extremadamente útil cuando:

1. Estamos agregando muchos números, por lo que escribirlos todos es difícil o imposible (si hay infinitos); o
2. La cantidad de números es desconocida de antemano y está determinada por algún parámetro.

La forma en que funciona es: encontramos alguna fórmula que genera todos los números que deseamos agregar, y especificamos qué valores debemos sustituir en esta fórmula para obtener los números que queremos.

Por ejemplo, supongamos que quiero escribir [matemáticas] 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 + 6 ^ 2 + 7 ^ 2 + 8 ^ 2 [/ matemáticas]. Esa es una expresión bastante larga. En cambio, puedo notar que quiero sumar cuadrados de enteros, por lo que los números son generados por la fórmula [matemáticas] m ^ 2 [/ matemáticas]. Los números específicos que quiero se generan al poner valores enteros de [math] m [/ math] de 3 a 8. Entonces escribo esto como [math] \ sum_ {m = 3} ^ 8m ^ 2 [/ math]. Podemos calcular y encontrar que [matemáticas] \ sum_ {m = 3} ^ 8m ^ 2 = 199 [/ matemáticas].

Supongamos que quiero hablar sobre “la suma de cubos de enteros de 1 a [matemáticas] n [/ matemáticas]”, para algunos enteros positivos [matemáticas] n [/ matemáticas]. Puedo escribirlo como [math] \ sum_ {m = 1} ^ nm ^ 3 [/ math]. Es imposible escribir esto usando solo el símbolo “+” porque el número de sumandos es variable. A veces las personas escriben [matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + \ cdots + n ^ 3 [/ matemáticas] pero eso es ambiguo ya que no siempre está claro cómo llenar los huecos, y simplemente no va a cortar cuando desee manipular la expresión metódicamente para encontrar su valor.

Puede probar que [math] \ sum_ {m = 1} ^ nm ^ 3 = \ frac {(n (n + 1)) ^ 2} {4} [/ math]. La prueba en sí no tiene mucho que ver con la notación de sumatoria, pero seguro que es mucho más fácil cuando realmente tienes una notación para anotar la cosa.

También puede tener sumas infinitas, por ejemplo,

[matemáticas] \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- m} = 2 ^ {- 0} +2 ^ {- 1} +2 ^ {- 2} +2 ^ {- 3} + 2 ^ {- 4} + \ cdots = 1+ \ frac12 + \ frac14 + \ frac18 + \ frac1 {16} + \ cdots [/ math]

Donde agregamos más y más términos “para siempre” (esto se basa en la noción de cálculo del límite de una secuencia). Puede mostrar que [matemática] \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- m} = 2 [/ matemática].

Entonces, para responder explícitamente cómo leer la notación, observe la variable escrita debajo del símbolo de suma. Sustituye los valores en la fórmula a la derecha del símbolo, donde los valores que colocas son todos los enteros que comienzan con el que está debajo del símbolo y terminan con el que está arriba. Luego agrega todos estos valores juntos.

Si tiene un símbolo de infinito en la parte superior, sigue aumentando la variable para siempre. Más rigurosamente (aunque este rigor es más avanzado que el símbolo de suma en sí), tiene [matemáticas] \ sum_ {m = k} ^ {\ infty} f (m) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ { m = k} ^ nf (m) [/ matemáticas].

Terminaré usando la notación de suma para expresar una suma infinita interesante, no trivial:

[matemáticas] \ sum_ {m = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {m ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6}. [/ matemáticas]