Esta es una de las mejores respuestas que he visto (Nota: este es el usuario de intercambio de pila de física Pulsar , solo lo vuelvo a publicar aquí). Tenga en cuenta que esta prueba comienza con una geometría simple que se puede obtener al observar cómo se mueven los objetos en el espacio:
De hecho, la prueba original de Newton se basaba en la geometría (todavía no había inventado el cálculo). Richard Feynman ideó su propia prueba geométrica más simple para una de sus famosas conferencias. Puede encontrarlo en la Conferencia Perdida de Feynman , de Goodstein & Goodstein, y en este artículo: Senderos de los planetas de Hall & Higson. Pero como es muy divertido, también lo describiré aquí.
Comencemos con una forma menos conocida de construir una elipse, la llamada construcción circular . Dibuja un círculo con el centro O y fija un punto A dentro del círculo. Elija un punto B en el círculo y dibuje la bisectriz perpendicular de [math] \ overline {AB} [/ math] (línea azul). Se cruza [math] \ overline {OB} [/ math] en un punto P , y cuando B se mueve alrededor del círculo, estos puntos de intersección forman una elipse. Además, las líneas bisectrices azules son líneas tangentes a la elipse, y O y A son los focos.
¿Por qué es una elipse? Porque [math] \ overline {AP} [/ math] tiene la misma longitud que [math] \ overline {BP} [/ math], de modo que la suma de las longitudes de [math] \ overline {AP} [/ math ] y [matemáticas] \ overline {OP} [/ matemáticas] es constante, es decir, el radio del círculo. En otras palabras, obtenemos la clásica definición de tachuela y cuerda de una elipse. También es sencillo ver que los ángulos ayb son iguales. Dado que ayc también son iguales, esto significa que byc son iguales, de modo que la línea azul es de hecho una línea tangente.
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La prueba geométrica de la Segunda Ley de Kepler (los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales) de las dos primeras leyes de Newton es sencilla y se puede encontrar en el artículo de Hall & Higson. Ahora, si un planeta atraviesa un ángulo Δθ en un pequeño intervalo de tiempo Δt , barre un área [math] = \ dfrac {1} {2} Δ \ theta r ^ 2 [/ math]
En este punto, el argumento de Feyman se desvía de Newton: mientras Newton rompe la órbita en piezas de igual tiempo, Feyman considera piezas de igual ángulo . En otras palabras, Feynman divide la órbita en piezas posteriores con áreas [matemáticas] ≈constante⋅r ^ 2. [/ Matemáticas]
La ley del cuadrado inverso de Newton (que puede derivarse de la Tercera Ley de Kepler) establece que la aceleración de un planeta es proporcional al cuadrado inverso de su distancia r :
[matemáticas] \ | \ dfrac {Δ \ nu} {\ delta t} \ | = \ dfrac {constante} {r ^ 2} [/ matemáticas]
Al eliminar [matemáticas] r ^ 2 [/ matemáticas], obtenemos
VΔ v ∥≈constante⋅ [matemática] \ dfrac {Δt} {\ text {área barrida en Δt}} [/ matemática].
Pero la Segunda Ley de Kepler establece que el área barrida en Δt es un múltiplo constante de Δt . Por lo tanto, vΔ v ∥≈constante, es decir, los intervalos de constante Δθ también tienen un cambio constante en la velocidad. Podemos usar este hecho para construir un llamado diagrama de velocidad . Divide la órbita en pedazos de ángulos iguales, dibuja los vectores de velocidad y traduce estos vectores al mismo punto. Como ∥Δ v ∥ es constante, la figura resultante es un polígono con [math] \ dfrac {360 ^ {\ circ}} {Δθ} [/ math] lados. Cuanto más pequeños son los ángulos, más se acerca a un círculo.
Ahora, dibujemos el diagrama de velocidad de un planeta en órbita. Si l es la línea tangente a la órbita en el punto P (paralelo al vector de velocidad en P ), entonces l ‘ en el diagrama de velocidad correspondiente también es paralelo a l . También tenga en cuenta que θ en ambos diagramas es igual.
Gire el diagrama de velocidad en sentido horario por [matemáticas] 90 ^ by [/ matemáticas], de modo que l ‘se vuelva perpendicular a l . Construya la bisectriz perpendicular p a la línea [math] \ overline {AB} [/ math], y la intersección P ‘ con [math] \ overline {OB} [/ math]. Resulta que estamos exactamente en la misma situación que la construcción del círculo para la elipse: a medida que B se mueve en el diagrama de velocidad, los puntos P ‘ forman una elipse. Las líneas p son las líneas tangentes a la elipse. Sin embargo, estas líneas también son paralelas a las líneas l , que son las líneas tangentes a la órbita del planeta. Debido al principio tangente , si dos curvas tienen las mismas líneas tangentes en cada punto, entonces esas curvas son las mismas. En otras palabras, las líneas l también son las líneas tangentes de una elipse. Esto prueba que la órbita de un planeta es de hecho una elipse.
Cf: probar la primera ley de Kepler sin ecuaciones diferenciales