Si [matemática] A = 0 [/ matemática] y [matemática] C = 0 [/ matemática] la ecuación se convierte en [matemática] Dx + Ey + F = 0 [/ matemática]. Eso no puede ser más que una sola línea para que el caso esté fuera.
Si [matemática] A \ neq0 [/ matemática] y [matemática] C \ neq0 [/ matemática] es posible completar los cuadrados y encontrar constantes [matemática] P, Q, R [/ matemática] tal que [matemática] A (xP) ^ 2 + C (yQ) ^ 2 = R [/ matemáticas].
Si [matemática] R = 0 [/ matemática] y [matemática] A [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] tienen el mismo signo, la ecuación representa el punto único [matemática] (P, Q) [/ matemática ]
Si [matemática] R = 0 [/ matemática] y [matemática] A [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] tienen signos opuestos, la ecuación representa dos líneas que se intersecan en el punto [matemática] (P, Q) [/matemáticas].
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Si [math] R \ neq0 [/ math] y [math] A [/ math] y [math] C [/ math] tienen signos opuestos, la ecuación representa una hipérbola.
Si [math] R \ neq0 [/ math] y [math] A [/ math] y [math] C [/ math] tienen el mismo signo pero es el signo opuesto de [math] R [/ math] entonces el La ecuación no tiene solución. Si [matemática] A, C, [/ matemática] y [matemática] R [/ matemática] comparten el mismo signo, la ecuación es una elipse centrada alrededor de [matemática] (P, Q) [/ matemática]. Si [matemática] A = C [/ matemática] la elipse se convierte en un círculo.
Ninguno de esos resultados son dos líneas paralelas, por lo que el caso de [math] A \ neq0 [/ math] y [math] C \ neq0 [/ math] está descartado.
Eso significa tener dos líneas paralelas exactamente una de [matemáticas] A, C [/ matemáticas] no es cero.
Tomemos primero el caso de [math] A \ neq0 [/ math] y [math] C = 0 [/ math]. Entonces [math] E [/ math] es cero o no cero.
Si [math] E \ neq0 [/ math] la ecuación [math] Ax ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 [/ math] es una parábola, entonces eso está fuera.
Si [matemática] E = 0 [/ matemática] la ecuación es simplemente [matemática] Ax ^ 2 + Dx + F = 0 [/ matemática].
Eso se puede escribir como:
[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {D} {A} x = – \ frac {F} {A} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {D} {A} + \ frac {D ^ 2} {4A ^ 2} = \ frac {D ^ 2} {4A ^ 2} – \ frac {F} {A} [/matemáticas]
[matemáticas] (x + \ frac {D} {2A}) ^ 2 = \ frac {D ^ 2-4AF} {4A ^ 2} [/ matemáticas]
Mientras [math] D ^ 2-4AF \ geq0 [/ math] se pueda sacar la raíz cuadrada.
[matemáticas] (x + \ frac {D} {2A}) = \ pm \ frac {\ sqrt {D ^ 2-4AF}} {2A} [/ matemáticas]
Si [matemática] D ^ 2 = 4AF [/ matemática] que representa una sola línea vertical.
Si [matemática] D ^ 2> 4AF [/ matemática] que representa dos líneas verticales (paralelas), según se desee.
Entonces, las condiciones deseadas para este caso son: [matemáticas] A \ neq0, C = 0, E = 0, D ^ 2> 4AF [/ matemáticas].
El segundo caso tiene [matemática] A = 0 [/ matemática] y [matemática] C \ neq0 [/ matemática]. Aquí podemos hacer para [matemáticas] y [/ matemáticas] exactamente lo que hicimos para [matemáticas] x [/ matemáticas] arriba. El resultado serán dos líneas paralelas horizontales (en lugar de verticales). La condición análoga para que esto suceda es: [matemática] A = 0, C \ neq0, D = 0, E ^ 2> 4CF [/ matemática].
Tenga en cuenta que esos no constituyen todas las líneas paralelas posibles en el plano. La ecuación cuadrática general en dos variables también contiene el término [matemáticas] Bxy [/ matemáticas], que fue excluido por la ecuación en cuestión. Si [math] B [/ math] puede ser distinto de cero, se pueden describir otros pares de líneas paralelas, como por [math] x ^ 2 + 2xy + y ^ 2-1 = 0 [/ math].