¿Es posible demostrar que solo hay un término de soluciones (si y = 1) para la ecuación x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 2 sobre los enteros positivos?

No estoy seguro de interpretar tu pregunta correctamente. ¿Estaba buscando soluciones para [matemáticas] x ^ 3 + 1 = z ^ 2 [/ matemáticas]? ¿O estabas buscando demostrar que [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 2 [/ matemáticas] solo tiene una solución si x = 1 o y = 1? Ambas se conocen como ecuaciones de diofantina, que admito que no son mi especialidad.

En la primera ecuación, pude encontrar un artículo que mostraba la única solución entera positiva no trivial para [matemática] x ^ 3 + 1 = z ^ 2 [/ matemática] es cuando x = 2 y z = 3.

Pude desenterrar un resultado interesante en el segundo de los dos problemas. Puede ver en esa fuente que tiene una solución para [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 2 [/ matemáticas] si

[matemática] x = 3m ^ 4-n ^ 4 + 6m ^ 2n ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] y = -3m ^ 4 + n ^ 4 + 6m ^ 2n ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] z = 6mn (3m ^ 4 + n ^ 4) [/ matemática]

para cualquier número entero m y n. En particular [matemática] 11 ^ 3 + 37 ^ 3 = 228 ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 8663 ^ 3 + 2137 ^ 3 = 812340 ^ 2. [/ Matemática] Entonces, como ve, no necesitamos x = 1 o y = 1 para obtener una solución a esto, y de hecho hay infinitas soluciones en los enteros positivos que no requieren x = 1 o y = 1. Existen soluciones a la ecuación que tampoco se obtienen de esta manera.

Cuando y = 1, x ^ 3 = z ^ 2-1 = (z-1) (z + 1). Factoriza x ^ 3 en un producto de primos. Cada primo aparece un múltiplo de 3 veces. Ahora factoriza z-1 y z + 1. Si un primo distinto de 2 divide uno de estos, no puede dividir el otro. Entonces, z-1 o z + 1 tiene que ser un cubo perfecto o una potencia de 2 veces un cubo perfecto. El número de potencias de 2, si las hay, debe dividirse de modo que uno de z-1 o z + 1 tenga una potencia más de dos y la potencia total sea un múltiplo de 3. Las potencias de 2 solo pueden ocurrir si z es par.

Esto proporciona algunas limitaciones en la solución. ¿Es suficiente? Si no, vea si puede extender este argumento.

¡La decisión se puede ver allí!

http://math.stackexchange.com/qu