No estoy seguro de interpretar tu pregunta correctamente. ¿Estaba buscando soluciones para [matemáticas] x ^ 3 + 1 = z ^ 2 [/ matemáticas]? ¿O estabas buscando demostrar que [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 2 [/ matemáticas] solo tiene una solución si x = 1 o y = 1? Ambas se conocen como ecuaciones de diofantina, que admito que no son mi especialidad.
En la primera ecuación, pude encontrar un artículo que mostraba la única solución entera positiva no trivial para [matemática] x ^ 3 + 1 = z ^ 2 [/ matemática] es cuando x = 2 y z = 3.
Pude desenterrar un resultado interesante en el segundo de los dos problemas. Puede ver en esa fuente que tiene una solución para [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 2 [/ matemáticas] si
[matemática] x = 3m ^ 4-n ^ 4 + 6m ^ 2n ^ 2 [/ matemática]
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[matemáticas] y = -3m ^ 4 + n ^ 4 + 6m ^ 2n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemática] z = 6mn (3m ^ 4 + n ^ 4) [/ matemática]
para cualquier número entero m y n. En particular [matemática] 11 ^ 3 + 37 ^ 3 = 228 ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 8663 ^ 3 + 2137 ^ 3 = 812340 ^ 2. [/ Matemática] Entonces, como ve, no necesitamos x = 1 o y = 1 para obtener una solución a esto, y de hecho hay infinitas soluciones en los enteros positivos que no requieren x = 1 o y = 1. Existen soluciones a la ecuación que tampoco se obtienen de esta manera.