¿Por qué funcionan los sistemas de ecuaciones lineales (métodos de eliminación y sustitución)?

Answer 1

Los dos métodos mencionados funcionan en una lógica básica y simple, es decir, el concepto de igualdad.
Por ejemplo:
x = y-3
Lo que escribimos y decimos es “trae 3 en RHS por lo tanto x + 3 = y”
Pero lo que realmente significa es,
La cantidad xy la cantidad (y-3) son IGUALES. Entonces, si agregamos una misma cantidad tanto en x como en (y-3), las cantidades resultantes que obtendremos también serían las mismas.

x = y-3
Por lo tanto x + 3 = (y – 3) + 3 = y

Del mismo modo en caso de multiplicación y división.
x / y = 7
Decimos que trae y en RHS.
Pero en realidad es la multiplicación de una misma cantidad (y) en 2 cantidades que ya son iguales, por lo tanto, la resultante es igual.

De manera similar en el método de sustitución, si una cantidad es igual a otra cantidad, podemos usar cualquiera de ellos (según nuestros requisitos)

También cuando resolvemos dos ecuaciones simultáneamente, lo que hacemos es;
Sabemos que un conjunto de dos cantidades son iguales. Y también un conjunto de otras dos cantidades (que tiene dos variables) es igual (pero completamente independiente del primer conjunto). Ahora si agrego ambos conjuntos, o los resto, o multiplico o divido. El conjunto resultante debe ser igual (sobre esta base podemos eliminar una variable y encontrar el valor de otra), ahora porque esa variable existe en ambos conjuntos y hemos utilizado ambos conjuntos para su cálculo, debe satisfacer ambas ecuaciones. Ahora, según el concepto de igualdad, ambos conjuntos son iguales y les queda una variable. Después de poner esa variable, ambos conjuntos deberían ser iguales entre sí.

Nota: aquí un conjunto se refiere a una ecuación, es decir, un conjunto de dos cantidades iguales (LHS y RHS).

Answer 2

Cada ecuación lineal es una verdad. Tiene que ser así en el sistema. Te lo explicaré con un ejemplo muy simple.

Considere que dejó caer una pelota desde unos 100 m del suelo y desea verificar a qué hora golpeará el suelo.

Sabes que el suelo está a 100 metros de distancia. Entonces quieres codificar eso en alguna forma de ecuación matemática. Entonces escribes $ s = 100 $, es el punto en el que golpearás el suelo.

Además, según las 3 leyes de Newton, usted sabe que $ s = \ frac {1} {2} en ^ 2 $.

Entonces, ves, estas son dos ecuaciones matemáticas que TIENEN que ser ciertas. Con estas ecuaciones, ha codificado lo suficiente la verdad del sistema de la vida real, en una forma matemática, para obtener la respuesta. Por eso trabajan. Porque solo están describiendo la forma en que funciona realmente el sistema.

Answer 3

Porque son un caso particular si se trata de un enfoque más general.

Suponga que tiene muchas variables: x, y, z … Suponga que aprende sobre alguna relación entre ellas. En muchos casos se puede escribir como una ecuación A (x, y, z, …) = 0, donde A es alguna expresión. Tan pronto como conozca los valores de todas las variables, excepto x, puede ponerlas en la ecuación y generalmente obtiene un valor numérico de x para esos valores.

Eso significa que x se está convirtiendo en una función de otras variables. En otras palabras, se está excluyendo de la lista de variables independientes independientes.

Otra relación eliminará una variable independiente más. Puede esperar que cuando tenga un número de relaciones igual al número de variables, no quedarán variables independientes (capaces de tomar cualquier valor). Y obtendrá una respuesta particular a un conjunto de ecuaciones que definen las relaciones entre variables.

Los métodos de sustitución y eliminación son solo pasos en el proceso que describí. Las ecuaciones lineales son una forma más simple de relaciones entre variables. Para ellos, esos pasos tienen una forma analítica simple. Tan pronto como la ecuación sea un poco más compleja, ya no nos damos el lujo de la analítica explícita.

Espero haberte dado algunas razones por las que están funcionando.

Answer 4

El método de sustitución funciona porque tienes igualdad en los objetos que estás sustituyendo. Si A = B, entonces debería poder usar B siempre que pudiera usar A.

La eliminación es un problema relacionado. Cuando tienes una ecuación eres libre de hacer operaciones a ambos lados. Si puedo agregar cualquier valor que quiera a una ecuación siempre que lo haga a ambos lados, entonces ¿por qué no puedo agregar el valor de la segunda ecuación?

Considere este ejemplo:

7x + 8y = 3 y 3x + 4y = 12

Soy libre de agregar cualquier valor que me gustaría a ambos lados de la ecuación. Voy a agregar -6x-8y a la primera ecuación obteniendo x = 3-6x-8y. Sin embargo, sabemos el valor de -6x-8y, podemos sustituirlo en -24. Por lo tanto, x = 3-24, x = -21.

Otra forma de verlo sería que podría agregar -24 a ambos lados de la primera ecuación. En este caso, tendría 7x + 8y-24 = -21, luego sustituiríamos en -6x-8y por 24.

Estas ideas son esencialmente lo mismo. Este ejemplo debería ilustrarlo.

Consideremos las ecuaciones 3x + 2y = 6 y 4x + y = 12. Si estuviéramos sustituyendo, yo diría y = 12-4x y lo sustituiría en la primera ecuación. Esto nos dejaría con 3x + 2 (12-4x) = 6 que se simplifica a 5x = 18.

En cambio, podemos hacer la eliminación agregando -2 veces la segunda ecuación a la primera. Esto nos da 3x – 8x = 6-24, que es exactamente la misma ecuación que antes, incluye todos los mismos términos, pero se ha simplificado en uno o dos pasos. La eliminación y la sustitución siempre funcionan, pero elegir el método correcto le ahorrará trabajo.

---