¿Cuál es la ecuación de cono que tiene vértice en origen?

Answer 1

Las coordenadas del vértice son [matemáticas] (0,0,0) [/ matemáticas], en el origen del plano 3D [matemáticas] XYZ [/ matemáticas]. Estamos hablando de un cono que se extiende infinitamente en la dirección [matemática] z [/ matemática]

Imagine un plano paralelo a [matemática] XY [/ matemática], o en otras palabras, un corte horizontal. ¿Qué forma se “proyecta” en ese plano? Piénsalo, es una circunferencia. Entonces, antes que nada, necesitamos saber cuál es la ecuación de una circunferencia.

Digamos que el radio de la circunferencia es [matemática] r [/ matemática] y su centro está en [matemática] (0,0) [/ matemática]. Dado cualquier punto [matemático] (x, y) [/ matemático] de la circunferencia, considere [matemático] r [/ matemático] como la longitud del segmento entre [matemático] (0,0) [/ matemático] y [ matemáticas] (x, y) [/ matemáticas]. Usando el teorema de Pitágoras sabemos que:

[matemáticas] x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} [/ matemáticas]

Esa es la ecuación implícita de una circunferencia (puede encontrar la fórmula explícita resolviendo para [matemáticas] x [/ matemáticas]).

Tenga en cuenta que la coordenada [math] z [/ math] está directamente relacionada con el radio. Cuanto más “alto” cortamos el cono, mayor es el radio.

[matemáticas] x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} [/ matemáticas]

Esa es la ecuación del cono más simple posible. Pero hay infinitos conos posibles. El radio podría aumentar lenta o rápidamente (al aumentar las coordenadas [matemáticas] z [/ matemáticas]). Podemos resolver este problema introduciendo una constante:

[matemáticas] x ^ {2} + y ^ {2} = \ left (\ frac {z} {C} \ right) ^ {2} [/ math]

Si desea una ecuación más general, podemos introducir dos constantes más:

[matemáticas] \ left (\ frac {x} {A} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {y} {B} \ right) ^ {2} = \ left (\ frac {z} { C} \ right) ^ {2} [/ math]

Y esa es la ecuación de un cono elíptico con vértice en origen:

[matemáticas] \ frac {x ^ {2}} {A ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {B ^ {2}} = \ frac {z ^ {2}} {C ^ { 2}} [/ matemáticas]

Answer 2

La ecuación más general de cono con intersección como a, b, c es

ax ^ 2 + por ^ 2 = cz ^ 2

si desea vértice en origen (es decir, a = b = p)

entonces, x ^ 2 + y ^ 2 = (c / p) z ^ 2

o x ^ 2 + y ^ 2 = mz ^ 2

donde, m es cualquier no real.

Answer 3

No es seguro. Respondiendo esto solo desde la intuición calculada, será mejor hacer una verificación cruzada.

Un cono es básicamente un gran número de círculos apilados uno encima del otro que siguen aumentando en radio.

Por lo tanto, para cada círculo,

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

El radio tendrá que ser una función lineal de z que tenga un valor cero en el origen (0,0,0).

[matemáticas] r = az [/ matemáticas]

Entonces la ecuación del cono con vértice en origen será,

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = (az) ^ 2 [/ matemáticas]

Sin embargo, z tendrá que estar restringido al dominio [math] [0, \ infty] [/ math] o [math] [0, – \ infty] [/ math] de lo contrario, dos conos simétricos sobre el plano xy serán generado.