Para empezar, debe distinguir entre sistemas lineales y no lineales.
Para los sistemas lineales existen métodos “exactos” y métodos aproximados.
Los métodos exactos dan la solución exacta si no fueran errores de redondeo. El método exacto general es la eliminación gaussiana, que se puede jugar manualmente en un esquema compacto con una columna de control para evitar errores; admite algunas variantes: “selección de pivote” para disminuir los errores de redondeo, “normalización” para evitar el desbordamiento, o ambos si se trata de un sistema “grande”. Algunas características del sistema pueden decidir el método a aplicar: por ejemplo, para un sistema definido por una matriz definida positiva simétrica, se recomendaría el “método de gradiente conjugado”.
El método iterativo aproximado aproximado tiene dos posibilidades independientes: el método de Jacobi, el método de Seidel. Ambos métodos permiten obtener una secuencia iterativa que puede converger a la solución exacta. La ventaja de los métodos iterativos es que son insensibles a los errores de redondeo, aunque el valor que proporcionan sufre un error de truncamiento, que puede estimarse.
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Debemos resolver un sistema lineal definido por una matriz de 10 × 10 sin características especiales y coeficientes dados con una precisión de coma flotante de 6 dígitos. Una actitud práctica puede ser redondear los coeficientes a 2 dígitos, digamos, y resolver el sistema “redondeado” con eliminación gaussiana para obtener una primera aproximación que puede usarse como punto de partida para un método iterativo.
El tema de los Sistemas Algebraicos Lineales generalmente exige un curso completo.
Los sistemas no lineales son casi siempre muy difíciles de resolver. No existe para ellos una teoría completa en cuanto a los lineales. El método estándar habitual es el Newton-Raphson, pero pueden surgir dificultades de convergencia al aplicarlo. Cuando se trata de un problema físico, aparece la necesidad de resolver un sistema no lineal, los especialistas en matemática numérica aconsejan cambiar el punto de vista para evitar la increíble tarea.