Cómo demostrar que no hay un valor real de k para el cual la ecuación x ^ 3-2x + k = 0 tiene dos raíces distintas entre 0 y 1

Answer 1

* A2A *

x ^ 3 – 2x + ((4/3) sqrt (2/3) -0.01) = 0 – Wolfram | Alpha

La ecuación anterior tiene dos raíces en (0, 1).

¿Cómo se me ocurrió la ecuación anterior?

Deje que las raíces sean [matemáticas] r_1, r_2, r_3 [/ matemáticas]. Supongamos, WLOG [matemáticas] r_1 = r_2 [/ matemáticas]. Ahora, de la ecuación dada sabemos que,

[matemáticas] r_1 + r_2 + r_3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] r_1r_2r_3 = -k [/ matemáticas]

Utilizando nuestra suposición, podemos ver rápidamente que [math] r_1 = r_2 = \ sqrt {\ frac {2} {3}} [/ math] y [math] r_3 = -2 \ sqrt {\ frac {2} { 3}} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] k = \ frac {4} {3} \ sqrt {\ frac {2} {3}} [/ math].

La ecuación [matemáticas] x ^ 3 -2x + \ frac {4} {3} \ sqrt {\ frac {2} {3}} = 0 [/ matemáticas] tiene dos raíces idénticas [matemáticas] \ sqrt {\ frac { 2} {3}} [/ math] y ambos están en (0, 1). Entonces, al cambiar ligeramente el valor de [math] k [/ math] por [math] 0.01 [/ math], terminamos con dos raíces distintas y ambas están en [math] (0,1) [/ math ]

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Hice lo anterior para verificar rápidamente para confirmar que las raíces están en (0, 1) o no. Creo que en realidad se puede demostrar que existen raíces en (0, 1) y que ambas son mayores que [matemáticas] \ frac {\ sqrt {5} – 1} {2} [/ matemáticas].

Answer 2

Sean a, b, -c las 3 raíces.0

Entonces a + bc = 0 es decir a + b = c… .. (1) coeficiente de [matemática] x ^ 2 [/ matemática]

ab + bc + ca = -2 …… .. (2) coeficiente de x

ab + c (a + b) = -2 Sustituyendo a + b en este

[matemáticas] ab = c ^ 2-2 [/ matemáticas]

ahora [matemáticas] ab = \ sqrt {(a + b) ^ 2–4ab} = \ sqrt {8–3c ^ 2} …………. (3) [/ matemáticas]

Para obtener raíces reales [matemáticas] 8–3 c ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas] es decir [matemáticas] c ^ 2 \ leq 8/3 [/ matemáticas] es decir c <1.632993…. (4)

Ahora de (1) y (3)

[matemáticas] a = \ frac {c + \ sqrt {8–3c ^ 2}} {2} …………………………………. (5) [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ frac {c- \ sqrt {8–3c ^ 2}} {2} ………………………………… (6) [/ matemáticas]

a <1 conduce a [matemáticas] c> \ frac {\ sqrt {5} +1} {2} es decir c> 1.618034… (7) [/ matemáticas]

0 \ sqrt 2 = 1.414214 ……………………… .. (8) [/ matemáticas]

(7) anulaciones (8). De (4) y (7) 1.618034

Esto nos da un número infinito de soluciones con 1

Answer 3

Como ha sido mencionado por otros, 2 raíces distintas pueden ocurrir entre 0 y 1 para

[matemáticas] x ^ 3 -2x + k = 0 [/ matemáticas]

Sin embargo, creo que la pregunta debería ser

[matemáticas] x ^ 2-2x + k = 0 [/ matemáticas]

En este caso, dejemos que las raíces sean a y b.

a + b = (- 2) / (- 1) = 2

Por lo tanto, si ambas raíces a y b se encuentran entre 0 y 1, nunca pueden sumar 2, como

0

Por lo tanto, la suma de las raíces nunca puede ser igual a 2.

Si la cuadrática fuera [matemática [x ^ 2 -2x = [/ matemática] raíces 0 y 2 o [matemática] x ^ 2-2x + 1 = 0 [/ matemática], raíces 1 y 1, entonces la suma sería 2 Pero ambos casos no satisfacen la condición en la pregunta.

Answer 4

No puede … porque es posible que un valor real de k dé dos raíces distintas entre 0 y 1.