El sistema lineal de ecuaciones:
[matemáticas] a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ ldots + a_ {1n} x_n = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + \ ldots + a_ {2n} x_n = 0 [/ matemáticas]
[matemática] \ vdots [/ matemática] [matemática] \ vdots [/ matemática] [matemática] \ vdots [/ matemática]
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[matemáticas] a_ {n1} x_1 + a_ {n2} x_2 + \ ldots + a_ {nn} x_n = 0 [/ matemáticas]
es homogéneo si todos sus términos constantes son cero. Esto es equivalente a escribir el sistema en la siguiente forma de matriz:
[matemáticas] Hacha = 0 [/ matemáticas]
donde [math] A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n} [/ math], [math] x \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math] y 0 es un vector columna de ceros.
Los sistemas homogéneos de ecuaciones tienen una sola solución única o un número infinito de soluciones. ¿Qué determina esto? La matriz [matemáticas] A. [/ Matemáticas] Específicamente, si [matemáticas] A [/ matemáticas] no es singular, es decir
[matemática] det (A) \ neq 0 [/ matemática]
entonces la única solución para la ecuación homogénea es la solución trivial [matemática] x = [0,0, .. 0] ^ T [/ matemática]. De lo contrario, si [math] A [/ math] es singular, es decir, no tiene [math] n [/ math] columnas linealmente independientes, entonces hay un número infinito de soluciones … lo que significa que existe un vector [math] x [ / math] y cualquier múltiplo que pueda llevar la matriz [math] A [/ math] al origen del espacio vectorial. Ahora, lo bueno de este conjunto de soluciones es que tiene las siguientes propiedades: 1) deje que [math] v [/ math] y [math] u [/ math] sean dos soluciones a la ecuación homogénea. Entonces [math] v + u [/ math] también es una solución, 2) deje que [math] c [/ math] sea cualquier escalar, entonces si [math] x [/ math] es una solución a la ecuación homogénea es [matemáticas] cx. [/ matemáticas]
La primera propiedad es útil para comprender el hecho de que la solución a un diffeq es la suma de las soluciones homogéneas y particulares. La propiedad 1 significa, geométricamente, que la solución que se traduce sigue siendo válida. ¿Puede averiguar cómo esto ayuda a obtener la solución particular? Además, tenga en cuenta que la segunda propiedad implica que las versiones escaladas de la solución [math] x [/ math] también son válidas. ¿Esto te recuerda un espacio útil?