¿Cómo cambian las raíces de ‘x ^ 2 + bx + c’ cuando b se mantiene constante y c cambia?

Answer 1

Las raíces se acercan más, hasta obtener una raíz doble, y luego al aumentar c se obtienen 2 raíces complejas (suponiendo que comenzaste con una raíz cuadrática con 2 raíces reales). Eche un vistazo al discriminante (usando a = 1 dado en la pregunta)

[matemáticas] \ sqrt {b ^ {2} – 4ac} = \ sqrt {b ^ {2} – 4c} [/ matemáticas]. Cuando [math] c = \ dfrac {b ^ 2} {4} [/ math], tienes una doble raíz. Cualquier valor mayor de c significa raíces complejas, con una parte real constante y una parte imaginaria creciente (cuando aumenta c, solo aumenta la parte debajo de la raíz).

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Nuevamente, suponiendo que a = 1. Puede que haya omitido esa parte, pero el hecho de que a es positivo es una suposición muy importante que estoy haciendo. El cambio de b depende del valor de la constante c, específicamente si es positivo, negativo o 0. Conectaré números a la fórmula cuadrática, así que lo mostraré aquí en lugar de mostrarlo para cada caso. [matemáticas] \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ {2} – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Caso 1: c = 0: Las raíces son 0 y [matemáticas] – \ dfrac {b} {a} [/ matemáticas]. El aumento de b significa que las raíces son 0 y un número más * negativo * (es decir, raíz más pequeña)

Caso 2: c <0: en el discriminante, esto significa que el término 4ac es positivo, y [matemáticas] b ^ {2} [/ matemáticas] siempre es positivo, por lo que tenemos [matemáticas] \ dfrac {-b \ pm número real} {2a} [/ math]. Para valores muy grandes de b, el numerador es [math] -b \ pm \ sqrt {b ^ {2} – 4c} \ approx -b \ pm b \ approx 0 \ text {y la otra raíz es} – \ dfrac {2b} {a} = -2b [/ matemáticas]. El aumento de b nuevamente significa una raíz de aproximadamente 0 (o un pequeño número) y la otra raíz disminuye a medida que b aumenta (nuevamente, se vuelve más negativa).

Caso 3: c> 0: este es el único caso en el que la cuadrática dada puede tener raíces complejas. [matemáticas] \ sqrt {b ^ {2} – 4c} [/ matemáticas]. En [math] b = 2 \ sqrt {c} [/ math], hay una raíz doble, a valores más pequeños de b hay una raíz compleja ya que el discriminante <0, y los valores más grandes dan 2 raíces reales.

Answer 2

Al aumentar o disminuir el valor de C, el gráfico se desplazará hacia arriba o hacia abajo respectivamente, por lo tanto, una raíz se desplazará hacia la izquierda y otra hacia la derecha simétricamente, por lo que el valor de uno disminuirá y el otro aumentará, por lo tanto, la suma de las raíces (-b / a) permanecerá constante.
Si C aumenta, el producto de las raíces aumentará y si C disminuye, el valor del producto de la raíz disminuirá.