Lo haría de esta manera: defina una función arbitraria en [math] 0 \ leq Re (t) <1 [/ math]. Ahora puede continuarlo para [math] Re (t) \ geq 1 [/ math] usando [math] f (t + 1) = f ^ 2 (t) -t [/ math] y [math] Re (t ) <0 [/ math] usando [math] f = \ pm \ sqrt {t + f (t + 1)} [/ math]. Usando estas relaciones repetidamente puede encontrar el valor para t arbitrario. Hay un grado adicional de libertad al elegir la rama de la raíz cuadrada.
La pregunta fue actualizada; ahora f debe ser continuo y diferenciable. Mi construcción obviamente no funciona, por ejemplo [math] f (1) [/ math] debe ser igual al límite [math] \ lim _ {\ epsilon \ to +0} f (1- \ epsilon) [/ math ] Por ejemplo, si elegimos [matemática] f (t) = t [/ matemática] en [matemática] 0 \ leq Re (t) <1 [/ matemática] la condición no se cumplirá ya que el límite es igual a 1 , mientras que la continuación es 0. No sé cómo se debe abordar este problema en este caso, para resolverlo, primero tratemos de tratar el caso cuando [math] t [/ math] es real. Aquí hay un par de ideas. Estudiemos el comportamiento asintótico de la función cuando [math] t [/ math] es grande. Entonces es razonable suponer que [matemática] f (t + 1) \ aprox. F (t) + f '(t) [/ matemática] y obtiene la ecuación diferencial [matemática] f' (t) = f ^ 2 ( t) -f (t) -t [/ matemáticas]. Esta es la ecuación de Riccati; algunas sustituciones su solución puede estar relacionada con la función Airy ([matemáticas] f \ a f-1/2 \ ,, t \ a t + 1/2, f = – \ frac {h '} {h} [/ matemáticas ]). Otra idea es eliminar [matemáticas] t [/ matemáticas] restando la relación entre [matemáticas] f (t + 2) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (t + 1) [/ matemáticas] y haciendo la transformación de Fourier que dará como resultado una ecuación integral del tipo [matemática] f (\ omega) = g (\ omega) + \ int f (\ omega ') f (\ omega- \ omega') d \ omega '[/ math] , donde [math] g [/ math] es alguna función conocida, pero no está claro cómo resolverla.